如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 03:20:04

如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.

如图13,在四边形ABCD中,AE平分∠BAD,DE平分∠ADC.（1）若∠B+∠C=120°,求∠AED的度数；（2）根据（1）的结论,请猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系,并加以证明.
第一问：
∵四边形的内角和＝360°,又∠B＋∠C＝120°,∴∠BAD＋∠CDA＝240°.
∵2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴2（∠EAD＋∠EDA）＝240°,
∴∠EAD＋∠EDA＝120°,而∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴∠AED＝180°－120°＝60°.
第二问：
由∠B＋∠C＝120°,∠AED＝60°,可猜想：∠B＋∠C＝2∠AED.
证明如下：
∵∠AED＋∠EAD＋∠EDA＝180°,∴2∠AED＋2∠EAD＋2∠EDA＝360°,
又2∠EAD＝∠BAD,2∠EDA＝∠CDA,∴∠BAD＋∠CDA＋2∠AED＝360°··········①
而∠B＋∠C＋∠BAD＋∠CDA＝360°··········②
②－①,得：∠B＋∠C－2∠AED＝0,∴∠B＋∠C＝2∠AED.

60°

（1）∠AED的度数=60°；（解法同（2）．)

（2）∠B+∠C=2∠AED，

理由如下：

设AE、DE与BC的交点为M、N；

△ABM中，∠B+∠BAM+∠AMB=180°；

△ADE中，∠E+∠EAD+∠EDA=180°；

△NCD中，∠C+∠NDC+∠CND=180°；

由题意知：∠BAM=∠EAD、∠EDA=∠EDC；

故∠B+∠C=（180°-∠BAM-∠NDC）+（180°-∠BMA-∠DNC）；

由于∠E=180°-∠EAD-∠EDA=180°-∠BAM-∠NDC，

且∠E=180°-∠EMN-∠ENM=180°-∠BMA-∠DNC，

故∠B+∠C=2∠E．

我看这样的题就晕啊