在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC交CO于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE.求证:FK∥AB

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/09 12:42:42
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC交CO于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE.求证:FK∥AB

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC交CO于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE.求证:FK∥AB
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC交CO于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE.求证:FK∥AB

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AE平分∠BAC交CO于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE.求证:FK∥AB

证明:过点K作MK∥BC,

∵AE平分∠BAC,

∴∠BAE=∠CAE,

又∵∠ACB=90°,CD⊥AB,

∴∠BAE+∠DKA=∠CAE+∠CEA=90°,

∴∠DKA=∠CEA,

又∵∠DKA=∠CKE,

∴∠CEA=∠CKE,∴CE=CK,又CE=BF,

∴CK=BF

而MK∥BC,

∴∠B=∠AMK,

∴∠BAC+∠B=∠DCA+∠BCA=90°,

∴∠AMK=∠DCA,

在△AMK和△ACK中,

∴∠AMK=∠DCA,AK=AK,∴∠BAE=∠CAE,

∴△AMK≌△ACK,

∴CK=MK,

∴MK=BF,MK∥BF,

四边形BFKM是平行四边形,

∴FK∥AB.

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证明:角平分线定理:AC/AD=CK/KD
AC/AB=CE/BE
射影定理:AC²=AD*AB
∴CK/KD=BE/CE=BE/BF=CF/BF
∴KF//AB