函数f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可微,且f（x）导数的绝对值小于1,又f（0）=f（1）,证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f（x1）-f（x2）的绝对值小于1/2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 02:54:52

函数f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可微,且f（x）导数的绝对值小于1,又f（0）=f（1）,证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f（x1）-f（x2）的绝对值小于1/2
函数f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可微,且f（x）导数的绝对值小于1,又f（0）=f（1）,证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f（x1）-f（x2）的绝对值小于1/2

函数f(x)在[0,1]上连续,在（0,1）内可微,且f（x）导数的绝对值小于1,又f（0）=f（1）,证明对于[0,1]上的任意两点x1,x2,恒有f（x1）-f（x2）的绝对值小于1/2
反证法,假定在[0,1]有两个点a,b(a0.5
根据拉格朗日中值定理,在(a,b)中存在点c使得f(b)-f(a)=(b-a)*f'(c)
即有：|f(b)-f(a)|=(b-a)*|f'(c)|>0.5
已知|f'(c)|0.5 （后面要用这个结论）
再两次利用拉格朗日中值定理：
在(0,a)中存在d使得：f(a)-f(0)=a*f'(d)
在(b,1)中存在e使得：f(1)-(b)=(1-b)*f'(e)
两式相加并利用f(0)=f(1)得：f(a)-f(b)=a*f'(d) + (1-b)*f'(e)
根据绝对值不等式得：|f(a)-f(b)|≤a*|f'(d)| + (1-b)*|f'(e)|
因为|f'(d)|和|f'(e)|都

不妨设x1<=x2
若|x1-x2|=x2-x1<=1/2
所以|f(x1)-f(x2)|=|f'(c)||x1-x2|<1*1/2=1/2
若x2-x1>1/2，则1-(x2-x1)<1/2
所以|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(0)+f(1)-f(x2)|
=|f'(c1)(x1-0)+f'(c2)(1-x2)|
<=|f'(c1)|*x1+|f'(c2)*(1-x2)

证明：函数f(x)=sin(x)/x在(0,1)上是一致连续的设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且0 设函数f(x)在区间[0,1]上连续,切0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 设函数y=f(x)在[0,1]上连续,且0 高数证明题：设函数f(x)在区间[0,1]上连续,证明高数题求解.设函数f（x）在0到1上闭区间连续,证明设函数f(x)在（01]上连续,且极限lim->0+f(x)存在,证明函数f(x)在（0,1]上有界若函数f(x)在【0,1】上连续,证明∫f（sinx）=∫f（cosx） 0 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导(0 一道函数连续的证明题f(x)在[0,2a]上连续,f(0)=f(2a).证明 f(x)=f(x+1) 在[0,a]上至少有一个根 f(x)在(0,1)上连续,证明一道高数题,设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x)∫(0,1) f(x)dx,则f(x)=?设函数f(x)在[0,+∞)上连续,且f(x)=x(e^-x)+(e^x) ∫(0,1) f(x)dx ,则f(x)= 判定函数在定义域上是否连续（说明理由）f(x)=0,若x 设函数f(x)在[0,无穷)上连续可导,且f(0)=1,|f'(x)|0时,f(x) 设正值函数f(x)在[0,1]上连续,试证:e^(∫(0→1)lnf(x)dx) 设正值函数f(x)在[0,1]上连续,试证:e^(∫(0→1)lnf(x)dx) 1.在[0,1]上求 ∫te^(t^2/2)dt2.函数f(x)连续,在[1,2]上求 ∫f(x+t)dt 的导数.