已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 12:06:54

已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx

已知函数f(x)=1/2x∧2-alnx,求函数f(x)的单调区间,求证当x>1时,1/2x∧2+lnx
第一个问题：
∵f（x）＝（1/2）x^2－alnx,　∴f′（x）＝x－a/x＝（x^2－a）/x.
令f′（x）＝（x^2－a）/x＞0,得：x^2－a＞0、x＞0；或x^2－a＜0、x＜0.
∴x^2＞a、x＞0；或x^2＜a、x＜0.
考虑到函数的定义域,需要x＞0.　∴只有：x^2＞a、x＞0.
考查x^2＞a、x＞0,当a≦0时,x＞0.　当a＞0时,x＞√a.
∴当a≦0时,函数的增区间是（0,＋∞）、没有减区间.
　当a＞0时,函数的增区间是（√a,＋∞）、函数的减区间是（0,√a）.
第二个问题：
令F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3.
求导数,得：F′（x）＝x＋1/x－2x^2、　F″（x）＝1－1/x^2－4x.
显然,当x＞1时,F″（x）＝1－1/x^2－4x＜0,
∴当x＞1时,F′（x）＝x＋1/x－2x^2 是减函数,而F′（1）＝1＋1－2＝0,
∴当x＞1时,F′（x）＜0,　∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 是减函数,
又F（1）＝1/2＋0－（2/3）＝3/6－4/6＝－1/6＜0,
∴当x＞1时,F（x）＝（1/2）x^2＋lnx－（2/3）x^3 ＜0,
∴（1/2）x^2＋lnx＜（2/3）x^3 .

已知函数f(x)=((x^2)/2)-alnx(a 已知函数f(x)=x²-2alnx求最值已知函数f(x)=2x-alnx.设若a 已知函数f(x) =x^2+alnx. 已知函数f(x)=½x^2-alnx 已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x>=1),当a 已知函数f(x)=x^2-x+alnx(x≥1),当a 已知函数f(x)=alnx+1/x 当a 已知函数f(x)=alnx+(a+1)/2x^2+1讨论函数f(x)的单调性已知函数f(x)=x^2-2alnx-1(a≠0),求函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=x-2/x=1-alnx a>o 讨论f(x)的单调性已知函数f（x）=x2-2（a+1）x+2alnx求f（x）单调区间已知f(x)=1/x+alnx若a=2,求函数f(x)的单调区间. 已知f(x)=alnx-2ax+1,试讨论函数的单调性已知函数f(x)=x^2+alnx.⑵若函数g(x)=f(x)+2/x在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范函数f(x)=alnx+2/x的单调区间已知函数f(x)=x^2－x＋alnx (1)当x>=1时,f(x)=1时,f(x) 已知f(x)=x-2/x+1+alnx 讨论f(x)的单调性