求函数y=x²/x²+x+1的值域

求函数y=x²/x²+x+1的值域
求函数y=x²/x²+x+1的值域

求函数y=x²/x²+x+1的值域
y=x^2/(x^2+x+1)
∵x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4≠0
∴两边可同乘以x^2+x+1,得：
(y-1)x^2+yx+y=0
判别式△=y^2-4y(y-1)=-3y(y-4/3)≥0
y(y-4/3)≤0
0≤y≤4/3
即值域【0,4/3】

解令x²/x²+x+1=t
则x²=tx²+tx+t
即(t-1)x²+tx+t=0.................(1)
当t=1时(1)变为x=-1
当t≠1时，由（1）是二次方程，该方程有解
则Δ≥0
即t^2-4t(t-1)≥0
即-3t^2+4t≥0
即3t^2-4t≤0<...

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解令x²/x²+x+1=t
则x²=tx²+tx+t
即(t-1)x²+tx+t=0.................(1)
当t=1时(1)变为x=-1
当t≠1时，由（1）是二次方程，该方程有解
则Δ≥0
即t^2-4t(t-1)≥0
即-3t^2+4t≥0
即3t^2-4t≤0
解得0≤t≤4/3
故综上知0≤t≤4/3
故函数的值域为[0,4/3].

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