在数列{an}中,a1=1/3,an+1=an+ 1/(n+1)(n+2).猜想an的表达式,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/04 19:05:58
在数列{an}中,a1=1/3,an+1=an+ 1/(n+1)(n+2).猜想an的表达式,

在数列{an}中,a1=1/3,an+1=an+ 1/(n+1)(n+2).猜想an的表达式,
在数列{an}中,a1=1/3,an+1=an+ 1/(n+1)(n+2).猜想an的表达式,

在数列{an}中,a1=1/3,an+1=an+ 1/(n+1)(n+2).猜想an的表达式,
我就不猜想了,直接做吧
利用裂项和叠加的方法
∵ an+1=an+ 1/(n+1)(n+2)
∴ a(n+1)-an= 1/(n+1)(n+2)
∴ a(n+1)-an=1/(n+1)-1/(n+2)
∴ a2-a1=1/2-1/3
a3-a2=1/3-1/4
.
a(n)-a(n-1)=1/n-1/(n+1)
以上这n-1个式子相加
a(n)-a(1)=1/2-1/(n+1)
∴ a(n)=a(1)+1/2-1/(n+1)
∴ a(n)=5/6-1/(n+1)

a(n+1)=an+1/(n+1)-1/(n+2)
a(n+1)-an=1/(n+1)-1/(n+2)
a2-a1=1/2-1/3
a3-a2=1/3-1/4
a4-a3=1/4-1/5
a5-a4=1/5-1/6
……
an-a(n-1)=1/n-1/(n+1)
相加:
an-a1=1/2-1/(n+1)
an=a1+1/2-1/(n+1)=5/6-1/(n+1)

a(n+1)=an+ 1/(n+1)(n+2)
a(n+1)-an=1/(n+1)(n+2)
a(n+1)-an=1/(n+1)-1/(n+2)
an-a(n-1)=1/n-1/(n+1)
an-a(n-1)=1/n-1/(n+1)
.............
a3-a2=1/3-1/4
a2-a1=1/2-1/3
以上等式相加得
an-a1=1/2-1/(n+1)
an-1/3=1/2-1/(n+1)
an=5/6-1/(n+1)