如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长;若不能,请说明理由.清晰点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/15 10:53:18
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长;若不能,请说明理由.清晰点
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.
当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长;若不能,请说明理由.
清晰点
如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=10,BC=12,动点P作AB的垂线交BC于点D,点E在边AC上,且∠PDE=∠B.当点P在AB上运动时,△BPD的面积可能等于△CDE面积的四倍吗?若能,请求出BP的长;若不能,请说明理由.清晰点
当点P在AB上运动时,△BPD的面积能等于△CDE面积的四倍
因为∠PDE=∠B,∠PDB+∠B=90度
所以∠BDE=∠BPD=90度
因为∠B=∠C
所以△BPD∽△CDE
作AM⊥BC
根据条件容易得到AM=8,CM=6
所以CM:AM:AC=3:4:5
显然△ACM∽△EDC
所以CD:DE:CE=3:4:5
所以可设CD=3X,DE=4X,CE=5X
因为△BPD∽△CDE且S△BPD=4△CDE
所以BD/CE=BP/CD=PD/DE=2
所以BP=6X,BD=10X
因为BD+CD=12
所以13X=12
所以X=12/13
所以BP=6X=72/13
因为72/13<10
所以P在AB上,符合条件
即当BP=72/13时S△BPD=4△CDE
江苏吴云超祝你学习进步
由于DP垂直AB, ∠PDE=∠B,所以DE垂直BC;(一个角的两个边垂直于另一个角的两个边时,二角相等)
又因为是等腰三角形,所以∠PDE=∠B=∠C
△BPD的面积为BP*(BP*tg∠B)/2= BP^2*tg∠B/2
△CDE的面积为CD*(CD*tg∠C)/2= CD^2*tg∠C/2= CD^2*tg∠B/2
当△BPD的面积等于△CDE面积的四倍时有:...
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由于DP垂直AB, ∠PDE=∠B,所以DE垂直BC;(一个角的两个边垂直于另一个角的两个边时,二角相等)
又因为是等腰三角形,所以∠PDE=∠B=∠C
△BPD的面积为BP*(BP*tg∠B)/2= BP^2*tg∠B/2
△CDE的面积为CD*(CD*tg∠C)/2= CD^2*tg∠C/2= CD^2*tg∠B/2
当△BPD的面积等于△CDE面积的四倍时有:
BP^2*tg∠B/2 = 4*(CD^2*tg∠B/2) ==> BP=2CD
BD=BP/cos∠B
BD+CD=12 ==> BP/cos∠B + BP/2 = 12
过A点做BC垂线交BC于F点。
cos∠B = (BC/2)/AB = 6/10 = 3/5 代入上式
BP/(3/5) + BP/2 = 12
求得 BP=72/13这个长度小于AB边长,所以当点P在AB上运动时,△BPD的面积能等于△CDE面积的四倍
收起
啊