F1、F2是椭圆4x²+5y²=20的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的弦AB,求AB,△F2AB的面积和周长

F1、F2是椭圆4x²+5y²=20的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的弦AB,求AB,△F2AB的面积和周长
F1、F2是椭圆4x²+5y²=20的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的弦AB,求AB,△F2AB的面积和周长

F1、F2是椭圆4x²+5y²=20的两个焦点,过F1作倾斜角为45°的弦AB,求AB,△F2AB的面积和周长
x^2/5+y^2/4=1,
因是经过焦点弦,可用焦点弦公式,
a= √5,b=2,c=1,e=c/a=√5/5,
|AB|=(2b^2/a)/[1-e^2(cos45°）^2]
=(2*2^2/√5）/[1-（√5/5）^2/(√2/2）^2]
∴|AB|=16√5/9,
当然也可以用韦达定理,一般弦长公式去解.
x^2/5+(x+1)^2/4=1,
9x^2+10x-15=0,
x1+x2=-10/9,
x1x2=-5/3,
|AB|=√（1+1）[（x1+x2)^2-4x1x2]=√[2*（100/81+20/3）=16√5/9.
F1(-1,0),F2(1,0),
弦方程：y=x+1,x-y+1=0,
根据点线距离公式,
F2至弦AB距离,d=|1-0+1|/√（1+1）=√2,
∴S△F2AB=|AB|*d/2=(16√5/9)*√2/2=8√10/9.
根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=2√5,
|BF1|+|BF2|=2a=2√5,
∴△F2AB周长=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2=4a=4√5.