作业帮如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 00:35:58
如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆
如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.
求证：C,E,O,F四点共圆
如图,在锐角三角形△ABC中,AB=AC,∠ACB的平分线交AB于点D,过△ABC的外心O作CD的垂线交AC于点E,过点E作AB的平行线交CD于点F.求证：C,E,O,F四点共圆
证明:链接CO交AB于点H 链接AO交BC于点G
∵AB=AC 即：∠B=∠BCA 且O是△ABC的外心
∴AG⊥BC
∵EF平行AB
∴∠EFC=∠ADC
又∵∠ADC=∠B+∠BCD
∴∠EFC=∠B+∠BCD
又∵∠B=∠BCA
∴∠EFC=∠BCA+∠BCD
又∵O是△ABC的外心
∴AO=OC 即：∠OCA=OAC
又∵∠ACB的平分线交AB于点D
∴∠BCD=∠DCA 又∵ ∠OCA=OAC
∴∠EFC=∠BCA+∠DCA 即：∠EFC=∠BCA+∠CAG+∠OCD
又∵AG⊥BC
∴∠BCA+∠CAG=90°
∴∠EFC=90°+∠OCD
∵EO⊥CD 又∵∠COE是△OMC的外角
∴∠COE=∠HOM=90°+∠OCD (说明点M是EO交CD的点）
∴∠COE=∠EFC
∴C,E,O,F四点共圆
连接OC，OA
∠OEF=∠OEC-∠FEC= 90度 - ∠ECD - ∠A = 90度 - 1/2∠ACB - ∠A
= 1/2∠A + ∠ACB - 1/2∠ACB - ∠A = 1/2(∠ACB -∠A)
∠OCF = ∠ECF - ∠OCE = 1/2∠ACB - ∠OAC = 1/2(∠ACB -∠A)
所以 ∠OEF = ∠OCF， ===》 C,E,O,F四点共圆
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