如图,在三角形ABC中,角ABC等于90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 10:30:06
如图,在三角形ABC中,角ABC等于90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点.

如图,在三角形ABC中,角ABC等于90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点.
如图,在三角形ABC中,角ABC等于90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点.

如图,在三角形ABC中,角ABC等于90°,D是AB的中点,以DC为直径的圆O交三角形ABC的边于G,F,E点.
证明:(1)连接DE、DF
依题意可知,CD、EF为圆O的直径.
有:∠ECF=∠CFD=∠FDE=∠DEF=90° 且有CD=EF
所以四边形ECFD为矩形 ,有DF=EC ∠DFB=∠ECF=90°
有因为点D为Rt△ABC斜边AB的中点,所以有CD=BD 即BD=EF
所以△BDF≡△FEC (HL)
BF、FC为其对应边,所以BF=FC 即点F为BC的中点.
(2)因为四边形ECFD为矩形,所以DF//EC
因为A、E、C三点共线,所以DF//AC
所以∠A=∠GDF (两直线平行,同位角相等)
由于∠GDF与∠GEF同为圆周角且共一段圆弧,所以∠GDF=∠GEF
即∠A=∠GEF 得证.