若(a+b+c)(b+c-a)=3abc 且SinA=2SinB CosC 那么三角形ABC是什么三角形

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 17:51:09
若(a+b+c)(b+c-a)=3abc 且SinA=2SinB CosC 那么三角形ABC是什么三角形

若(a+b+c)(b+c-a)=3abc 且SinA=2SinB CosC 那么三角形ABC是什么三角形
若(a+b+c)(b+c-a)=3abc 且SinA=2SinB CosC 那么三角形ABC是什么三角形

若(a+b+c)(b+c-a)=3abc 且SinA=2SinB CosC 那么三角形ABC是什么三角形
∵ sinA=2sinBcosC
∴cosC=sinA/2sinB
∴cosC=a/2b =(a^2+b^2-c^2)/2ab 整理得b^2=c^2
∴b=c
(a+b+c)(b+c-a)=3abc
所以(a+2b)(2b-a)=3ab²
4b²-a²=3ab²
4b²-4a²=3ab²-3a²
4(b+a)(b-a)=3a(b-a)
(b-a)(4b+4a-3a)=0
(b-a)(4b+a)=0
因4b+a≠0
所以a=b
因b=c
所以a=b=c
等边三角形

由SinA=2SinB CosC ,可知Sin(B+C)=2SinB CosC ,即SinC CosB =SinB CosC ,即sin(B-C)=0,∴B=C,b=c,根据(a+b+c)(b+c-a)=3abc ,b=c,得(a+2c)(2c-a)=3ac²,解得a=c,∴a=b=c,即ABC等边三角形

等边三角形,具体解为:由题意(a+b+c)(b+c-a)=3abc化简为:a^2=b^2+c^2-bc;与余弦定理比较可得bc=2bccosA;解得cosA=1/2,得A=60度,又 SinA=2SinB CosC ,B=180-A-C=120-C;带入可得C=60度,从而B=60,所以三角形ABC为等边三角形。