已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

已知三角形三边a,b,c,证明：abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
证明：∵a,b,c是△ABC的三边
∴a+b-c>0
a+c-b>0
b+c-a>0
∵(a+b-c)(a+c-b)=a^2-(b-c)^2≤a^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤a^2(b+c-a)…………（1）
∵(a+b-c)(a+c-b)≤b^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤b^2(a+c-b)…………（2）
∵(a+b-c)(a+c-b)≤c^2
∴(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)≤c^2(a+b-c)…………（3）
∵（1）,（2）,（3）三式两边都＞0
∴（1）,（2）,（3）三式两边分别相乘,得：
[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^3≤a^2b^2c^2(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
即：abc≥(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

因为a,b,c是△ABC的三边,所以a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0
因为(a+b-c)(a+c-b)<=a^2,所以(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a^2(b+c-a)…………（1）
同理(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=b^2(a+c-b)…………（2）
(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=c^2(a+b-c)…………（...

全部展开

因为a,b,c是△ABC的三边,所以a+b-c>0,a+c-b>0,b+c-a>0
因为(a+b-c)(a+c-b)<=a^2,所以(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=a^2(b+c-a)…………（1）
同理(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=b^2(a+c-b)…………（2）
(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)<=c^2(a+b-c)…………（3）
因为（1）（2）（3）三式两边都大于0，所以（1）（2）（3）三式两边分别相乘，得
[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]^3<=a^2b^2c^2(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)
即abc>=(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

收起

因为a|、b、c为三角形的三边，所以a+b>c>0，a+c>b>0，b+c>a>0
(a+b-c)>0 (a+c-b)>0 (b+c-a)>0
[(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] <=1/3[(a+b-c)+(a+c-b)+(b+c-a)]=1/3(a+b+c)