已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 07:26:16

已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E
已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC

是AE平分角BAD交DC于E

已知:如图在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD交EC于E,DF垂直BC,交AE于G,且DF=AD 求证：CD=DG+FC是AE平分角BAD交DC于E
AB=DG+FC
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AB∥DC,AD∥BC,
∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移,平移距离为AD,则DC与AB重合,记平移后的三角形为△ABH,则∠AHB=∠DFC=90°,∠ABH=∠C,AH=DF,HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°,
∴F,B,H三点共线,
∴BF+HB=BF+FC,
从而FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°,AH⊥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°,则AD与AH重合,∠DAG=∠HAI,∠DGA=∠HIA,∠AHI=∠ADG=90°,
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°,
∴I,H,B三点共线．
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAG=∠DAG,
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF,
∴∠HAG=∠DGA,
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∴IB=IH+HB=DG+FC,
∴AB=DG+FC．

∵ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD

延长FD截取，DH=FC，连接AH

∵AD∥BC，DF⊥BC

∴∠ADH=∠DFC=90°

∵AD=DF

∴△ADH≌△DFC(SAS)

∴AH=CD，∠CDF=∠HAD

∴∠CDF=90°-∠BCD=∠HAD

∵AE平分∠BAD

∴∠DAG=1/2∠BAD=1/2∠BCD

∴∠HAG=∠HAD+∠DAG=90°-∠BCD+1/2∠BCD=90°-1/2∠BCD

∵∠HGA=∠DGA=90°-∠DAG=90°-1/2∠BCD

∴∠HAG=∠HGA

∴AH=GH=DH+DG=DG+FC

∴CD=DG+FC