作业帮二项式（1+x)^m +(1+2x)^n展开式中,x的系数为11,求x^2系数最小值急 ! 请高手指教! 谢谢! 十分感谢! 急!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 06:55:30
二项式（1+x)^m +(1+2x)^n展开式中,x的系数为11,求x^2系数最小值急 ! 请高手指教! 谢谢! 十分感谢! 急!
二项式（1+x)^m +(1+2x)^n展开式中,x的系数为11,求x^2系数最小值
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（1+x)^m +(1+2x)^n展开式中,x的系数为:
Cm(1)+2Cn(1)=11
m+2n=11
m/2+n=11/2
m=11-2n
x^2系数为:
Cm(2)+2Cn(2)
=m(m-1)/2+n(n-1)
=m^2/2-m/2+n^2-n
=(11-2n)^2/2+n^2-11/2
=3n^2-22n+55
n=11/3时,上式取最小,但n要取整数,所以n=4时取最小
最小值=3*16-88+55=15
11=m+n*2^(n-1),
若n>=3,则m+n*2^(n-1)>=m+3*2^2=m+12>=12>11.矛盾。
因此，
n<=2.
n=2时，11=m+2*2=m+4,m=7.(1+x)^7+(1+2x)^2=(1+7x+7*6x^2/2+...+x^7)+(1+4x+4x^2)=2+11x+25x^2+...+x^7.
n=1时，11=m+1*2=...
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11=m+n*2^(n-1),
若n>=3,则m+n*2^(n-1)>=m+3*2^2=m+12>=12>11.矛盾。
因此，
n<=2.
n=2时，11=m+2*2=m+4,m=7.(1+x)^7+(1+2x)^2=(1+7x+7*6x^2/2+...+x^7)+(1+4x+4x^2)=2+11x+25x^2+...+x^7.
n=1时，11=m+1*2=m+2,m=9.(1+x)^9+(1+2x)=(1+9x+9*8x^2/2+...+x^9)+1+2x=2+11x+32x^2+...+x^9.
所以，x^2系数最小值=25。
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