如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 05:57:26

如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数

如图,△abc等腰直角三角形,∠acb=90°,m、n为斜边ab上的两点,满足AM^2+BN^2=MN^2,求∠mcn的度数
∠mcn=45°
过点b 作be⊥ab,垂足为b,在be上取一点d,使bd=am
三角形cbd≌三角形cam
cd=cm,∠bcd=∠acm
在直角三角形bdn中,有
bd^2+bn^2=nd^2
am^2+bn^2=mn^2
nd=mn
三角形ncd≌三角形ncm
∠mcn=∠ncd
∠ncd=∠bcn+∠bcd=∠bcn+∠acm
∠mcn+∠bcn+∠acm=90°
∠mcn=90°/2=45°

如图，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．

（1）请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS；

（2）求∠MCN的度数．

考点：作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

专题：综合题．

分析：（1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出旋转后的图形，根据MN2=BN2+AM2，可证得MS=MN，从而利用SSS可证得结论．

（2）根据旋转角为90°，再由（1）的结论即可得出答案．

（1）画图形如右图所示：

证明：由旋转的性质可得：CS=CN，AS=BN，

又∵MN2=BN2+AM2，

∴MN2=AS2+AM2=MS2，

∴MS=MN，

又∵CS=CN，CM=CM，

∴△MCN≌△MCS（SSS）．

（2）由（1）得：△MCN≌△MCS，

∴∠NCM=∠MCS=45°．

点评：本题考查旋转作图及三角形全等的证明，难度较大，关键是掌握旋转前后线段的长度，角的度数均不变．