作业帮高数凹凸性证明一点不懂,求证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/23 17:52:22
高数凹凸性证明一点不懂,求证明
高数凹凸性证明
一点不懂,求证明
高数凹凸性证明一点不懂,求证明
关于凸函数的确定,有如下定理：
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负时成立；
凸函数还有如下性质：
f[(x1+x2)/2]≤[f(x1)+f(x2)]/2；其中x1和x2是函数定义域中不同的两个值.
以上是所需的定理.
证明：
设f(t)=t^n（x>0,n>1）
则有f(x)的二阶导函数f "(t)=(n²-n)t^(n-2)
因为n>1所以n²-n=n(n-1)>0
又x>0,所以x^(n-2)>0
所以f "(t)>0成立.
所以f(t)是凸函数.
令t1=x,t2=y
则有(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n
题目得证.
希望能够帮到你.
设f(x)=x^n，则f''(x)=n(n-1)x^(n-2)，因为x>0，n>1.所以f''(x)>0，故f(x)是凹的，根据凹函数的性质，[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]，所以(x^n+y^n)/2>[(x+y)/2]^n