已知直线l过定点（0,3）,且是曲线y²=4x的动弦P1P2的中垂线,求直线l与动弦P1P2的交点M的轨迹方程.不太会做,思路模糊,

已知直线l过定点（0,3）,且是曲线y²=4x的动弦P1P2的中垂线,求直线l与动弦P1P2的交点M的轨迹方程.不太会做,思路模糊,
已知直线l过定点（0,3）,且是曲线y²=4x的动弦P1P2的中垂线,求直线l与动弦P1P2的交点M的轨迹方程.
不太会做,思路模糊,

已知直线l过定点（0,3）,且是曲线y²=4x的动弦P1P2的中垂线,求直线l与动弦P1P2的交点M的轨迹方程.不太会做,思路模糊,
P₁(x₁,y₁),P(x₂,y₂),M(a,b)
y²=4x,y₁²= 4x₁
y²=4x,y₂²= 4x₂
(x₁- a)² + (y₁- b)² = (x₂- a)² + (y₂- b)²
化简得：
(1/16)(y₁²+ y₂²)(y₁+ y₂)+(1 - a/2)(y₁+ y₂) - 2b = 0
(y₁- y₂)/(x₁- x₂) = a/(3 - b)
(y₁- y₂)/¼(y₁²- y₂²) = a/(3 - b)
∴y₁+ y₂= (12 - 4b)/a
代入上式得：
(1/16)(y₁²+ y₂²)(12 - 4b)/a+(1 - a/2)(12 - 4b)/a - 2b = 0
化简得：
b = 6/(2 + a)
将a,b换成x,y 得到轨迹方程：
y = 6/(x + 2)
¹²³⁴√ⁿ₁₂₃₄

设定点为A，M(X,Y),P1(X1,Y1),P2(X2,Y2)向量AM=(X,Y-3),P1P2=(X2-X1,Y2-Y1),因为l是P1P2中垂线，所以AM和P1P2垂直，则X(X2-X1)+(Y-3)(Y2-Y1)=0,M为P1P2中点，X=(X1+X2)/2,Y=(Y1+Y2)/2,P1P2在曲线y²=4x上，所以Y1²=4X1,Y2²=4X2,X(X2-X1...

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设定点为A，M(X,Y),P1(X1,Y1),P2(X2,Y2)向量AM=(X,Y-3),P1P2=(X2-X1,Y2-Y1),因为l是P1P2中垂线，所以AM和P1P2垂直，则X(X2-X1)+(Y-3)(Y2-Y1)=0,M为P1P2中点，X=(X1+X2)/2,Y=(Y1+Y2)/2,P1P2在曲线y²=4x上，所以Y1²=4X1,Y2²=4X2,X(X2-X1)+(Y-3)(Y2-Y1)=X(Y2²/4 - Y1²/4)+(Y-3)(Y2-Y1)=0两边同时除以（Y2-Y1）得X((Y1+Y2)/4)+(Y-3)=0,Y=(Y1+Y2)/2,XY/2 +Y-3=0,即XY+2Y-6=0为M点轨迹方程

收起

设P1(x1,y1)，P2（x2,y2），M（x,y）
所以直线P1P2的斜率k1=(y1-y2)/(x1-x2)
因为y^2=4x，所以x1=y1^2/4,x2=y2^2/4
代入得k1=(y1-y2)/(y1^2/4-y2^2/4)=4/(y1+y2)
又因为M是P1P2的中点，所以y1+y2=2y，也就是说k1=4/(y1+y2)=4/2y=2/y
直...

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设P1(x1,y1)，P2（x2,y2），M（x,y）
所以直线P1P2的斜率k1=(y1-y2)/(x1-x2)
因为y^2=4x，所以x1=y1^2/4,x2=y2^2/4
代入得k1=(y1-y2)/(y1^2/4-y2^2/4)=4/(y1+y2)
又因为M是P1P2的中点，所以y1+y2=2y，也就是说k1=4/(y1+y2)=4/2y=2/y
直线l过（x,y）(0,3)，
所以直线l的斜率k2=(y-3)/x
两直线垂直，得k1*k2=-1
所以有2/y*(y-3)/x=-1
整理得xy+2y-6=0(x>=0)

收起

设P1（m^2/4,m),P2(t^2/4,t）
P1P2中点M((m^2+t^2)/8,(m+t)/2)在直线I上
直线I可表示为y=ax+3,(m+t)/2=a(m^2+t^2)/8+3
P1P2和直线I垂直，有a（m-t）/((m^2-t^2)/4)=-1
以上可求得m,t的关系。
通过m，t的关系求得M两个坐标之间的关系式，也就是轨迹方程

设M(x,y),P1 P2设出,直线l设为y=kx+3,用点差法求得y=-2k,再代入直线方程得,xy+2y-3=0