已知α、β、γ为锐角,且cosα=tgβ ,cosβ=tgγ ,cosγ=tgα,求证：α=β=γ

已知α、β、γ为锐角,且cosα=tgβ ,cosβ=tgγ ,cosγ=tgα,求证：α=β=γ
已知α、β、γ为锐角,且cosα=tgβ ,cosβ=tgγ ,cosγ=tgα,求证：α=β=γ

已知α、β、γ为锐角,且cosα=tgβ ,cosβ=tgγ ,cosγ=tgα,求证：α=β=γ
因α、β、γ为锐角
则cosα、cosβ、cosγ>0
注意到cos^2β+sin^2β=1
由cosα=tgβ=sinβ/cosβ
注意到cos^2β+sin^2β=1
则有cos^2α=1/cos^2β-1（I）
同理cos^2β=1/cos^2γ-1（II）
同理cos^2γ=1/cos^2α-1（III）
将（II）代入（I）有cos^2αcos^2γ=1+cos^2α-2cos^2γ（*）
由（III）式变形有cos^2αcos^2γ=1-cos^2α（**）
于是由（*）（**）有1+cos^2α-2cos^2γ=1-cos^2α
即cos^2α=cos^2γ,即cosα=cosγ,即α=γ
同理可得α=β
所以α=β=γ

cosα=tgβ =sinβ/cosβ
cosβ=tgγ =sinγ /cosγ
cosγ=tgα=sinα /cosα
由上式有序代入一次得
sinα /cosα=sinγ /cosα
有α、β、γ为锐角
所以sinα=sinγ
得：α=γ
同理得：α=β
α=β=γ
证毕