作业帮如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,BD=1,BC=AD=2,沿BD将△ABD翻折,使得∠ADC=30°,得到几何体B-ACD．（1）求证：AC⊥平面BCD（2）求二面角D-AB-C的大小的余弦值．
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 08:26:46
如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,BD=1,BC=AD=2,沿BD将△ABD翻折,使得∠ADC=30°,得到几何体B-ACD．（1）求证：AC⊥平面BCD（2）求二面角D-AB-C的大小的余弦值．
如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,BD=1,BC=AD=2,沿BD将△ABD翻折,使得∠ADC=30°,得到几何体B-ACD．
（1）求证：AC⊥平面BCD
（2）求二面角D-AB-C的大小的余弦值．
如图,在△ABC中,BD为AC边上的高,BD=1,BC=AD=2,沿BD将△ABD翻折,使得∠ADC=30°,得到几何体B-ACD．（1）求证：AC⊥平面BCD（2）求二面角D-AB-C的大小的余弦值．
（1） 思路；首先证明AC于三角形BCD中哪两条相交直线垂直.
已知中,BD为AC边上的高,所以翻折后BD垂直面ACD.所以BD垂直于AC.再找第二条,在三角形ADC中,已知角ADC和AD.DC长度,易想到使用余弦定理算出AC边,为1.所以三角形ACD为直角三角形.所以∠ACD为直角.所以就找到两个相交直线BD和DC相交且垂直于AC .
（2）思路 从D点和C点作AB的垂线,两条垂线必定在AB上有同一交点,因为DC已知,两条垂线可算出,根据余弦定理就可以解出、
也可以用向量的方法,少动脑筋多动手,以AC CD边为直角边,建立空间直角坐标系.算出二面角的两个法向量.然后用公式算出COS 就是要求的SIN值.
我的回答被吞了，等等应该能看到。
（1），三角形BDC为直角三角形，推出DC为根号3，三角形ADC，由余弦定理得AC为1，易知AC⊥DC，又由于BD⊥DA，BDz⊥DC，所以BD⊥DAc，所以BD⊥AC，由AC⊥DC，BD⊥AC知AC⊥平面BCD
（2）作DH⊥AB于H，CI⊥AB于I，可推出DH＝2／根号5，BH＝2／根号5，AI＝1／根号5，BH＝1／根号5，所以HI＝1－2／根号5，由公式DC＾2＝DH＾2＋CI＾2...
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（1），三角形BDC为直角三角形，推出DC为根号3，三角形ADC，由余弦定理得AC为1，易知AC⊥DC，又由于BD⊥DA，BDz⊥DC，所以BD⊥DAc，所以BD⊥AC，由AC⊥DC，BD⊥AC知AC⊥平面BCD
（2）作DH⊥AB于H，CI⊥AB于I，可推出DH＝2／根号5，BH＝2／根号5，AI＝1／根号5，BH＝1／根号5，所以HI＝1－2／根号5，由公式DC＾2＝DH＾2＋CI＾2＋HI＾2－2乘以CI乘以HI乘以cosα，即可推出二面角的余弦值
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（1）∵△ABC中，BD为AC边上的高
∴几何体B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC⊂平面ACD
∴AC⊥BD；
（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD⊂平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD
∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB= 5，AC=1，...
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（1）∵△ABC中，BD为AC边上的高
∴几何体B-ACD中，BD⊥DA，BD⊥DC，DA∩DC=D
∴BD⊥平面ACD
又∵AC⊂平面ACD
∴AC⊥BD；
（2）由（1）中BD⊥平面ACD，BD⊂平面BCD
∴平面BCD⊥平面ACD
∵BD=1，BC=AD=2，使得∠ADC=30°
∴AB= 5，AC=1，AC⊥DC，BC=2
∴∠ABC即为AB与平面BCD所成角
则cos∠ABC= 255
http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f2cd3c78-2f76-4219-9614-0c9ba5133dd8
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