已知函数f(x)=ln x+a/x,若函数f(x)在[1,e]上最小值是3/2,求a

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 20:19:02
已知函数f(x)=ln x+a/x,若函数f(x)在[1,e]上最小值是3/2,求a

已知函数f(x)=ln x+a/x,若函数f(x)在[1,e]上最小值是3/2,求a
已知函数f(x)=ln x+a/x,若函数f(x)在[1,e]上最小值是3/2,求a

已知函数f(x)=ln x+a/x,若函数f(x)在[1,e]上最小值是3/2,求a
f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2=0
xa时,f(x)增
a

f'(x)=1/x-a/x^2=(x-a)/x^2
当x=a时,f'(a)=0
当 1当 a0 f(x)在(a,e)内单调递增 则x=a时,f(x)有最小值3/2
f(a)=lna+1=3/2
lna=1/2
a=e^(1/2)

令一阶导数f'(x)=1/x-a/x^2=0得x=a
1.当a<1时f(x)单调递增,最小值为f(1)=a=3/2与a<1矛盾舍去
2.当a>e时f(x)单调递减,最小值为f(e)=1+a/e=3/2得a=e/2,舍去
3.当1<=a<=e时最小值为f(a)=ln(a)+1=3/2,a=根号e合题意

f'(x)=1/x-a/x^2=0,x=a极值点
f''(x)=-1/x^2+2a/x^3,f''(a)=1/a^2>0,x=a极小值点
if a属于[1,e],f(a)=lna+1=3/2,a=√e
if a<1,f(x)单增,最小值f(1)=a=3/2,矛盾
if a>e,f(x)单减,最小值f(e)=1+a/e=3/2 a=e/2,矛盾

a=根号e