如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=根号2,PC=根号6.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD,（2）已知棱PA上存在一点E,若求二面角E-BD-A的大小为45°,求AE：EP的值.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 13:56:22

如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=根号2,PC=根号6.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD,（2）已知棱PA上存在一点E,若求二面角E-BD-A的大小为45°,求AE：EP的值.
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=根号2,PC=根号6.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD,（2）已知棱PA上存在一点E,若求二面角E-BD-A的大小为45°,求AE：EP的值.

如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=根号2,PC=根号6.（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD,（2）已知棱PA上存在一点E,若求二面角E-BD-A的大小为45°,求AE：EP的值.
(1)证明：
∵PAB为正三角形,AB=2
∴PB=AB=2
∵BC=根号2,PC=根号6
∴PC²=BC²+PB²
∴根据勾股定理得BC⊥PB
∵ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PB,AB∈面PAB且交于点B
∴BC⊥面PAB
∵BC∈面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
(2)
思路1：
∵面ABCD⊥面PAB,AD⊥AB
∴AD⊥面PAB
∵PA∈面PAB
∴AD⊥PA
∴PD²=PA²+AD²=4+2=6
AE：EP=t/(2-t)
DE²=AD²+AE²=t²+2
BE²=AB²+AE²-2AB*AE*cos∠BAE=t²+4-2*2*t*cos60°=t²-2t+4
BD²=AB²+AD²=6
思路2：
取AB中点O为原点,向量AD方向为正X轴,向量OB方向为正Y轴,向量OP方向为正Z轴.
则A(0,-1,0) B(0,1,0) D(根号2,-1,0) P(0,0,根号3)
设AE=tAP,则点E为(0,tAO-1,tOP),即(0,t-1,根号3)
面ABD法向量为OP=(0,0,根号3)
设面BED法向量为n=(x,y,z)
n*向量BE=0 -> (t-2)*y+根号3*z=0 -> z=(2-t)*y/根号3
n*向量BD=0 -> 根号2*x-2y=0 -> x=根号2*y
所以法向量n=(根号6,根号3,2-t)
∵二面角E-BD-A的大小为45°
∴|OP|*|n|*cos45°=向量OP*向量n
根号3*根号(9+(2-t)²)*(根号2/2)=根号3*(2-t)
左右同时平方 -> 9+(2-t)²=2(2-t)² -> (2-t)²=9 -> t=5或-1 [这里好像错了.囧]
第一问肯定没问题咯
第二问思路1我算不下去了,仅供参考
思路2可以算出来,这个你自己可以判断啦,不过我不知道哪里不小心算错了
如果没有其他人答出来,干脆就采纳我的咯~
depends on u,没完全算对我也不好意思非要你采纳.囧一个先