作业帮定义在区间（0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1)；⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 13:56:09
定义在区间（0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1)；⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
定义在区间（0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1)；⑵
若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
定义在区间（0,+∞)上的函数f(x)满足对任意的正数x,y都有f(x^y)=yf(x).⑴求f(1)；⑵若a>b>c>1,且a,b,c成等比数列,求证f(a)f(c)
1.令f(x^y)=yf(x)中y＝0,可得：f（1）＝0.
2.令f(x^y)=yf(x)中,y＝log（x^t) （以x为低,t的对数）,可得：f(t)=log(x^t)f(x) （1式）,令1式中t＝a,x＝b得：f(a)=log(b^a)f(b),同理可得：f(c)=log(b^c)f(b),两式相乘：f(a)f(c)=log(b^a)log(b^c)[f(b)]^2=lnalnc[f(b)]^2/（lnb)^2（由均值不等式,a不等于c）<0.25(lna+lnc)^2[f(b)]^2/(lnb)^2=0.25(ln(b^2))^2[f(b)]^2/(lnb)^2=[f(b)]^2,即：f(a)f(c)<[f(b)]^2.
3.由1式：f(t)/lnt＝f(x)/lnx（这里为推导出结论忽略了分母无意义的点）,它的意义就是对于定义域内,有意义的t,x,均有f(t)/lnt＝f(x)/lnx,即它们的比例为常数,假设f(t)/lnt＝f(x)/lnx＝k,所以,1式可化为：f(t)＝klnt,即f(x)的函数解析式为：f(x)＝klnx（其中k为一常数）,根据条件f(0.5)<0,可知：f(0.5)=kln0.5<0,k>0,所以f（x)在定义域(0,+∞)内位增函数.