计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 12:12:25
计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.

计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.
计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.

计算三重积分 ∫∫∫(x^2+y^2+z)dxdydz 其中D为曲面z=1-x^2-y^2与xOy平面所围成的区域.
曲面z=1-x^2-y^2是一个倒扣的旋转抛物面,顶点是(0,0,1),
在XOY平面投影是一个半径为1的圆 ,把空间坐标系转换为柱面坐标较简单,
原式= 4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr∫(0→1)(rcosθ)^2+(rsinθ)^2+z)rdz
= 4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr∫(0→1)(r^3+zr)dz
=4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)dr[r^3z+z^2r/2](0→1)
=4∫(0→π/2)dθ∫(0→1)(r^3+r/2)dr
=4∫(0→π/2)dθ(r^4/4+r^2/4)(0→1)
=4∫(0→π/2)(1/4+1/4)dθ
=4(θ/2)(0→π/2)
=π.