已知,a>0,b>0,a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 01:57:41
已知,a>0,b>0,a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

已知,a>0,b>0,a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9
已知,a>0,b>0,a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9

已知,a>0,b>0,a+b=1,求证(1+1/a)(1+1/b)大于等于9
(1+1/a)(1+1/b)
=(a+1)/a*(b+1)/b
=(ab+a+b+1)/ab
=(ab+2)/ab
=1+2/ab
(a-b)^2>=0
(a+b)^2>=4ab
ab=8
(1+1/a)(1+1/b)>=9.
a=b=1/2时,取等号.

(1+1/a)(1+1/b)
=(1+(a+b)/a)(1+(a+b)/b)
=(2+b/a)(2+a/b)
=5+2[(b/a)+(a/b)]
a>0,b>0,由均值不等式
>=5+4根号[(b/a)(a/b)]
>=9
当且仅当b/a=a/b取等