作业帮微积分问题3证明方程 x3次方 + x + c = 0 (c为非零常数)在区间（-|c|,|c|）内有且仅有一个实根,（提示：利用闭区间上连续函数的零值定理）.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:10:57
微积分问题3证明方程 x3次方 + x + c = 0 (c为非零常数)在区间（-|c|,|c|）内有且仅有一个实根,（提示：利用闭区间上连续函数的零值定理）.
微积分问题3
证明方程 x3次方 + x + c = 0 (c为非零常数)在区间（-|c|,|c|）内有且仅有一个实根,（提示：利用闭区间上连续函数的零值定理）.
微积分问题3证明方程 x3次方 + x + c = 0 (c为非零常数)在区间（-|c|,|c|）内有且仅有一个实根,（提示：利用闭区间上连续函数的零值定理）.
f(x)=3x²+1>0
所以f(x)是增函数
所以x³+x+c=0只有一个实根
f(-|c|)=-|c|³-|c|+c
f(|c|)=|c|³+|c|+c
f(-|c|)*f(|c|)=(-|c|³-|c|+c)(|c|³+|c|+c)
=c²-(|c|³+|c|)²
=c²-c^6-2|c^4)-c²
=-c^6-2c^4
c不等于0
所以-c^6-2c^4<0
所以f(-|c|)*f(|c|)<0
因为三次函数是连续函数
所以f(x)在（-|c|,|c|）内和x轴有交点
即x³+x+c=0在（-|c|,|c|）内有实数根
而x³+x+c=0只有一个实根
所以x³+x+c=0在（-|c|,|c|）内有且只有实数根
令y=x^3 + x +c
y'=3x^2 + 1 >0 , 所以y=f(x)在R上单调增
f(-c)=-c-c+c=-c
f(c)=c+c+c=3c
1.若c>0 f(-c)<0 f(c)>0 所以由零值定理在（-c,c)必然存在一点xo使得f(xo)=0 , 且y=f(x)是单调的，所以有且仅有一个实根
2.若c<0同理
3.若c=0 x^3 + x=0 => x=0
设c>0
F=x3次方 + x + c
F(c)=c^3+2c>0
F(-c)=-c^3<0
设c<0
F=x3次方 + x + c
F(c)=c^3+2c<0
F(-c)=-c^3>0
无论哪种情况
F连续，两端点一个大于0，另一个小于零，存在x使F=0
F单调增，只有一个满足要求的x。
存在性：
f(c)f(-c)=(c^3+2c)(-c^3)=-c^6-2c^4 恒小于0
说明f(c),f(-c)异号
根据零点定理存在 b属于（-|c|,|c|）使f（b）=0
唯一性：
f'(x)=3x^2+1 恒大于0 单调增
根唯一
可设函数f(x)=x^3+x+c 明显f(x)在其定义域内式连续的。
f(|c|）=|c|c^2+|c|+c>|c|c^2-c+c=|c|c^2>0 {利用|c|>-c}
f(-|c|)=-|c|c^2-|c|+c<-|c|c^2-c+c=-|c|c^2<0 {利用|c|>c}
所以f(x)在（-|c|,|c|上必有一根
而f'(x)=3x^2+1大于等于0，所以f...
全部展开
可设函数f(x)=x^3+x+c 明显f(x)在其定义域内式连续的。
f(|c|）=|c|c^2+|c|+c>|c|c^2-c+c=|c|c^2>0 {利用|c|>-c}
f(-|c|)=-|c|c^2-|c|+c<-|c|c^2-c+c=-|c|c^2<0 {利用|c|>c}
所以f(x)在（-|c|,|c|上必有一根
而f'(x)=3x^2+1大于等于0，所以f(x)在定义域内是单调递增的
f(x)在（-|c|,|c|上只有一根
综上可得证明。
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