现性代数证明题,关于逆矩阵,第五题,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 02:39:29

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(1)证：
因为A,B,A+B都可逆
所以
A(A+B)^(-1)B
=[[A^(-1)]^(-1)(A+B)^(-1)[B^(-1)]^(-1)]
=(B^(-1)(A+B)A^(-1))^(-1)
=[B^(-1)AA^(-1)+B^(-1)BA^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
（2）
同理
A(A+B)^(-1)B
=[[A^(-1)]^(-1)(A+B)^(-1)[B^(-1)]^(-1)]
=(B^(-1)(A+B)A^(-1))^(-1)
=[B^(-1)AA^(-1)+B^(-1)BA^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
==[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
（2）
同理
B(A+B)^(-1)A
=[[B^(-1)]^(-1)(A+B)^(-1)[A^(-1)]^(-1)]
=(A^(-1)(A+B)B^(-1))^(-1)
=[A^(-1)AB^(-1)+A^(-1)BB^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
==[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
由逆矩阵的唯一性,可得
A(A+B)^(-1)B=B(A+B)^(-1)A

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