麻烦大家解个题,三角形ABC的周长为20,BC边的长为7,角A等于60度,求它的内切圆半径.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 00:20:22

麻烦大家解个题,三角形ABC的周长为20,BC边的长为7,角A等于60度,求它的内切圆半径.
麻烦大家解个题,三角形ABC的周长为20,BC边的长为7,角A等于60度,求它的内切圆半径.

麻烦大家解个题,三角形ABC的周长为20,BC边的长为7,角A等于60度,求它的内切圆半径.

如图,过点B作BD⊥AC于D

设AD=x
∵∠A=60°,BD⊥AC
∴AB=2x,BD=√3x
∵△ABC的周长为20,BC=7
∴CD=20-7-x-2x=13-3x
∴BD²+CD²=(√3x)²+(13-3x)²=9x²-78x+169=BC²=49
∴9x²-78x+120=0
即：(x-4)(2x-5)=0
∴x=4或x=5/2
当x=4时,AB=8,AC=5
当x=5/2时,AB=5,AC=8
∴△ABC的三边长分别为：5、7、8
∵内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点
∴右图中∠EAO=30°(其中O为内切圆圆心)
∴AE=AF=(AB+AC-BC)/2=3
∴OE=√3
即△ABC的内切圆半径为√3

不妨设角A B C对应边为a b c
已知a=7,a+b+c=20,A=60°
三角形面积S=1/2(a+b+c)r (r为内切圆半径)
又S=1/2bcsinA
所以r=bcsinA/(a+b+c)=bc*√3/40
又余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bccosA=(b+c)^2-3bc
故bc=1/3*(13^2-7^2)=40
所以面积为√3(根号三)

a=7，b+c=20-a=13.
a²=49=b²+c²-2bcCOSA=b²+c²-bc。①
有（b+c)²=b²+c²+2bc=13²=169.②
有①②得：bc=40，
SΔABC=bcsinA/2=10√3=圆的周长×r/2=10r
解得
r=√3