若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明:A+B是不可逆矩阵

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 03:43:55
若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明:A+B是不可逆矩阵

若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明:A+B是不可逆矩阵
若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明:A+B是不可逆矩阵

若A^2=B^2=I,且|A|+|B|=0,证明:A+B是不可逆矩阵
证:因为 A^2=B^2=E
所以 |A|^2=|B|^2=1
所以 |A|=±1,|B|=±1
再由 |A|+|B|=0 知 |A|,|B| 必一正一负,即有 |A||B|=-1.
所以 -|A+B|
= |A||A+B||B|
= |A(A+B)B|
= |AAB+ABB|
= |B+A|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.