作业帮在1、2、3……、100中,有的数不能写成两个或两个以上连续自然数之和,如4,那么这样的数有多少个?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:29:39
在1、2、3……、100中,有的数不能写成两个或两个以上连续自然数之和,如4,那么这样的数有多少个?
在1、2、3……、100中,有的数不能写成两个或两个以上连续自然数之和,如4,那么这样的数有多少个?
在1、2、3……、100中,有的数不能写成两个或两个以上连续自然数之和,如4,那么这样的数有多少个?
【定理】除了 2^k（k≥1,k是整数） 以外,其余所有数都可以写成以a开头的连续n（n≥2）个自然数之和：a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)
所以在1、2、3……、100中,不能写成两个或两个以上连续自然数之和的只有：
2、4、8、16、32、64
共6个.
【定理的证明】
（1）若M是奇数,则M可以写成两个连续自然数之和：(M-1)/2,(M+1)/2；
（2）若M是偶数,则若M可以写成以a开头的连续n（n≥2）个自然数之和,
M=a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)=(2*a+n-1)*n/2,
而2*a+n-1与n肯定一个为奇数一个为偶数,
即M一定要有一个大于1的奇因数,而所有2^k 都没有大于1的奇因数,因此肯定不符合条件.
再证明只要 M 有一个大于1的奇因数,即M≠2^k,M就可以写成连续n个自然数之和.
假设M有一个奇质因数a,则M=a*b （b是偶数）
①若b-(a-1)/2>0,M就可以写成以b-(a-1)/2开头的连续a个自然数.
比如：24=3*8=7+8+9.
②若(a+1)/2-b>0,M就可以写成以(a+1)/2-b开头的连续2*b个自然数.
比如：38=19*2=8+9+10+11.
上述两个不等式【b-(a-1)/2>0与(a+1)/2-b>0】必有一个成立,
所以可以证明,只要M有一个大于1的奇因数,就一定可以写成连续n个自然数之和.
所以：除了2^k 以外,其余所有数都可以写成a+(a+1)+(a+2)+...+(a+n-1)
那么这样的数有5个，分别是：4、8、16、32、64。
二个连续的自然数可以设定为 n,n+1
其和S=n+n+1=2n+1
即奇数可以（除1之外），偶数不可以
所以共有 50+1=51个
三个连续的自然数可以设定为 n,n+1,n+2
其和S=n+n+1+n+2=3n+3
即3的倍数可以，其他的不可以
在偶数中3的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、6...
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二个连续的自然数可以设定为 n,n+1
其和S=n+n+1=2n+1
即奇数可以（除1之外），偶数不可以
所以共有 50+1=51个
三个连续的自然数可以设定为 n,n+1,n+2
其和S=n+n+1+n+2=3n+3
即3的倍数可以，其他的不可以
在偶数中3的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96
所以有51-11=40个
4个连续的自然数可以设定为 n,n+1,n+2,n+3
其和S=n+n+1+n+2+n+3=4n+6=2(2n+3)
还是奇数
依此类推
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