作业帮高中空间线面里的一道几何在立方体ABCD -A1B1C1D1中,证明D1B垂直平面AB1C.最好有图说明哦
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 05:44:18
高中空间线面里的一道几何在立方体ABCD -A1B1C1D1中,证明D1B垂直平面AB1C.最好有图说明哦
高中空间线面里的一道几何
在立方体ABCD -A1B1C1D1中,证明D1B垂直平面AB1C.最好有图说明哦
高中空间线面里的一道几何在立方体ABCD -A1B1C1D1中,证明D1B垂直平面AB1C.最好有图说明哦
∵BB1⊥BA、BB1⊥BC,∴BB1⊥平面ABCD；
∵AC在平面ABCD内,∴BB1⊥AC；
∵正方形对角线互相垂直,则BD⊥AC；
即AC⊥BB1、AC⊥BD,
又∵BB1和BD是平面BB1DD1内的两条相交直线,∴AC⊥平面BB1DD1；
∵BD1在平面BB1DD1内,∴AC⊥BD1,即BD1⊥AC；
同理,可证得BD1⊥AB1、BD1⊥CB1；
而AC、AB1、CB1都是平面AB1C内两两相交的直线,则BD1⊥平面AB1C.
A1B垂直AB1，A1D1垂直AB1
所以AB1垂直平面A1BD1
所以AB1垂直BD1
同理
AC垂直BD，AC垂直DD1
所以AC垂直平面BDD1
所以AC垂直BD1
综上
BD1垂直平面AB1C
：∵BB1⊥BA、BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABCD；
∵AC在平面ABCD内，∴BB1⊥AC；
∵正方形对角线互相垂直，则BD⊥AC；
即AC⊥BB1、AC⊥BD，
又∵BB1和BD是平面BB1DD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面BB1DD1；
∵BD1在平面BB1DD1内，∴AC⊥BD1，即BD1⊥AC；
同理，可证得BD1⊥AB1、BD1⊥C...
全部展开
：∵BB1⊥BA、BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABCD；
∵AC在平面ABCD内，∴BB1⊥AC；
∵正方形对角线互相垂直，则BD⊥AC；
即AC⊥BB1、AC⊥BD，
又∵BB1和BD是平面BB1DD1内的两条相交直线，∴AC⊥平面BB1DD1；
∵BD1在平面BB1DD1内，∴AC⊥BD1，即BD1⊥AC；
同理，可证得BD1⊥AB1、BD1⊥CB1；
而AC、AB1、CB1都是平面AB1C内两两相交的直线，则BD1⊥平面AB1C。
或A1B垂直AB1，A1D1垂直AB1
所以AB1垂直平面A1BD1
所以AB1垂直BD1
同理
AC垂直BD，AC垂直DD1
所以AC垂直平面BDD1
所以AC垂直BD1
综上
BD1垂直平面AB1C
收起
设立方体棱长为a，AC与BD的交点为E，BD1与B1E交于F，则BE=a/根号2，
由三角形BEF与三角形B1D1F相似得：BF=a/根号3，EF=a/根号6，BF=a/根号2；
推得三角形BEF为直角三角形，且BF垂直EF，而AC垂直BF，故BF垂直平面AB1C，
亦即BD1垂直平面AB1C，