用基本不等式解决最小值问题求f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x(0<x<π/2)的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 16:14:34
用基本不等式解决最小值问题求f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x(0<x<π/2)的最小值

用基本不等式解决最小值问题求f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x(0<x<π/2)的最小值
用基本不等式解决最小值问题
求f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x(0<x<π/2)的最小值

用基本不等式解决最小值问题求f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x(0<x<π/2)的最小值
解1:f(x)=(sin²x+cos²x)(4/sin²x+1/cos²x)
=5+4cos²x/sin²x+sin²x/cos²x
≥5+2√4
=9
当且仅当sin²x=2cos²x时等号成立.
解2:f(x)=4(sin²x+cosx²)/sin²x+(sin²x+cosx²)/cos²x
=5+4cos²x/sin²x+sin²x/cos²x
以下同角1.

f(x)=4/sin平方x+1/cos平方x=4cosec平方x+sec平方x
f(x)=4cot平方x+tan平方x+5≥2√(4cot平方x*tan平方x)+5=4+5=9

因为0<x<π/2,所以cosx≠o,sinx>0,cosx>0,tanx>0,f(x)=4(sin平方x+cox平方x)/sin平方x+(sin平方x+cox平方x)/cos平方x=4(tan平方x+1)/tan平方x+(tan平方x+1)/1=4+1+4/tan平方x+tan平方x≥5+2×2=9,即f(x)的最小值是9.

f(x)=(sin²x+cos²x)(4/sin²x+1/cos²x)
=5+ 4cos²x/sin²x+sin²x/cos²x
(4cos²x/sin²x+sin²x/cos²x)/2≥√4
所以f(x)最小值为9