作业帮一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 22:34:08
一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的
一道等差数列的题,
将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的3个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f（n）,则f（n）=?
谢谢1楼的兄弟了，可是这道题的答案是(n+1)(n+2)/6，希望有牛人能帮忙解答下,这是当n=2和n=3时的图
一道等差数列的题,将正三角形ABC分割成n^2（n大于等于2,n属于正整数）个全等的小正三角形,在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于三角形ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的
由分成n平方个,则各边分成n段,边长变为原△ABC的1/n.
以平行AC为例
AB上的点,首项a,等差(b-a)/n：a,[(n-1)a+b]/n, [(n-2)a+2b]/n, [(n-3)a+3b]/n,., [a+(n-1)b]/n,b
CB上的点,首项c,等差(b-c)/n：c,[(n-1)c+b]/n, [(n-2)c+2b]/n, [(n-3)c+3b]/n,., [c+(n-1)b]/n,b
可以看到,有n+1列,除了最后一个是点B外,其他是一组平行线,且平行线上的点为等差数列.假设各平行线等差数列首项在AB上,最后一项在CB上
则除了点B,由公式S=n(a1+an)/2,这n列平行线和分别为：
(n+1)(a+c)/2,
n[(n-1)a+(n-1)c+2b]/n/2,
(n-1)[(n-2)a+(n-2)c+2*2b]/n/2,
(n-2)[(n-3)a+(n-3)c+2*3b]/n/2,
(n-3) [(n-4)a+(n-4)c+2*4b]/n/2,
.
.
.
3[2a+2c+2(n-2)b]/n/2,
2[a+c+2*(n-1)b]/n/2
b（点B）
发现可以分别对含a、b、c项相加.
F(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
F(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
F(b)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]b/n+b=(n+1)b.
同理,平行BC、AB情况分别为
G(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
G(c)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]c/2n.
G(a)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]a/n+a=(n+1)a.
和
H(a)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]a/2n.
H(b)=[(n+1)n+n(n-1)+(n-1)(n-2)+...+3*2+2*1]b/2n.
H(c)=[(n-1)+(n-2)+...+2+1]c/n+c=(n+1)c.
∴f(n)=[F(a)+G(a)+H(a)+F(b)+G(b)+H(b)+F(c)+G(c)+H(c)]/3
=[S(n)+n(n+1)]/3n
此时,只要处理数列{Dn},dn=(n+1)n的前n项和S(n)就可以了.
利用等差数列的求和公式，以及等差数列中，等差中项的性质
结果是(n+1)(n+2)/6