作业帮n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数x≠a或b，y≠a或b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:02:46
n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数x≠a或b，y≠a或b
n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数
x≠a或b，y≠a或b
n为奇数,且有n=x^2+y^2=a^2+b^2,x.y一奇一偶,a.b一奇一偶,证明n不是质数x≠a或b，y≠a或b
有一个结论说4k+1型的质数存在唯一的方式表为两个完全平方数之和(不计顺序).
这里就是这个唯一性的逆否命题.
唯一性比较严格的表述为:
若n是质数,正整数x,y,a,b满足x²+y² = a²+b² = n,则有x = a或x = b (相应有y = b或y = a).
证明:首先n² = (a²+b²)(x²+y²) = a²x²+b²y²+b²x²+a²y² = (ax+by)²+(bx-ay)² ≥ (ax+by)².
即有n ≥ ax+by.其中等号成立当且仅当bx-ay = 0,即bx = ay.
代回得a²n = a²x²+a²y² = a²x²+b²x² = x²n,故x² = a²,又x,a为正整数,有x = a.
因此当x ≠ a,有n > ax+by > 0,而n是质数,可知n与ax+by互质.
注意到n | (a²-y²)n = a²(x²+y²)-y²(a²+b²) = a²x²-b²y² = (ax-by)(ax+by).
但n与ax+by互质,故当x ≠ a时有n | ax-by.
而n² = (a²+b²)(x²+y²) = a²x²+b²y²+b²x²+a²y² = (ax-by)²+(bx+ay)² > (ax-by)² (bx+ay > 0).
有n > ax-by > -n,于是由n | ax-by,只有ax-by = 0,即ax = by.
代回得x²n = a²x²+b²x² = b²y²+b²x² = b²n,故x² = b²,又x,b为正整数,有x = b.
由此可知,在所给条件下,x = a与x = b必成立其一,代回即得相应y = b与y = a.证毕.
注:上面讨论的是正整数解,而当x,y,a,b中有0时,易见n不为质数,因此结论可以适用于自然数.
作为推论,有两种不同方式(不计次序)表为完全平方和的整数一定是合数.