已知函数f(θ)=asinθ+bcosθ(a,b≠0)的最大值为2,且f(π/6)=√3,求f(π/3).

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 13:39:55

已知函数f(θ)=asinθ+bcosθ(a,b≠0)的最大值为2,且f(π/6)=√3,求f(π/3).
已知函数f(θ)=asinθ+bcosθ(a,b≠0)的最大值为2,且f(π/6)=√3,求f(π/3).

已知函数f(θ)=asinθ+bcosθ(a,b≠0)的最大值为2,且f(π/6)=√3,求f(π/3).
f(π/6)=asin30+bcos30=a/2+√3b/2=√3
又函数f(θ)=asinθ+bcosθ(a,b≠0)的最大值为2
所以√(a^2+b^2)=2,a^2+b^2=4
解得：a=√3,b=1或a=0,b=2(舍去）
所以f(π/3)=asin60+bcos60=b/2+√3a/2=2

f(θ)＝asinθ+bcosθ
＝＞ f(θ)／√（a2＋b2）＝（sinθ×a）／√（a2＋b2）＋（cosθ ×b）／√（a2＋b2）
设某角β，sinβ＝b ／√（a2＋b2），cosβ＝a／√（a2＋b2）
f(θ)／√（a2＋b2）＝sinθcosβ＋...

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f(θ)＝asinθ+bcosθ
＝＞ f(θ)／√（a2＋b2）＝（sinθ×a）／√（a2＋b2）＋（cosθ ×b）／√（a2＋b2）
设某角β，sinβ＝b ／√（a2＋b2），cosβ＝a／√（a2＋b2）
f(θ)／√（a2＋b2）＝sinθcosβ＋cosθsinβ＝sin（β＋θ）
f(θ)＝sin（β＋θ）√（a2＋b2）
f(θ)最大值为√（a2＋b2）＝2 ， a2＋b2＝4 ①
f(π/6)=?a＋（√3）b／2＝√3 ②，
结合②①，得a＝√3 b＝1 ；或a＝0，b＝2（a,b≠0舍去）
f(θ)＝√3sinθ+cosθ， f(π/3)＝2

收起

先合并得f(θ)=(√(a^2+b^2) )sin(θ+ψ)
由于最大值是2，因此，a^2+b^2=4
上式可化为f(θ)=2sin(θ+ψ)
已知f(π/6)=√3
可求出ψ=π/6或π/2
因此f(π/3)=2或1