有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?

有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?
有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:
有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?

有一些自然数n,满足:2n - n 是3的倍数,3n - n 是5的倍数,5n - n是2的倍数.请问:有一些自然数n,满足：2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数.请问：这样的 n 中最小的是多少?
47
一、
因为5^n尾数只能是5,则5^n必是奇数,要满足5^n - n是2的倍数,则n必是奇数
二、
要满足3^n - n是5的倍数,则 3^n - n 的尾数只能是0 或 5
3^n的尾数是3,9,7,1,3,9,7,1……（4个一循环）
除以5后的余数为 3,4,2,1,则n的尾数只能在 3,4,2,1,8,9,7,6中选,去掉偶数n的尾数只能在3,1,9,7中选.
当n的尾数是1时,(10k+1)/4余数只能是1或3,则3^(10k+1)的余数只能是3或7,尾数是(3-1)或者(7-1)显然都不能满足是5的整数倍,故n的尾数不能是1,同理n的尾数不能是9.
n的尾数只能是3或者7.n=7,n=13满足3^n - n 是5的倍数.4与10的最小公倍数为20,则n可能是 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
三、
很显然2^n不能被3整除,则 2^n 除以 3 后余数只可能是 1 或 2,且n为奇数时2^n 除以 3 余2,n为偶数时2^n 除以 3 余1,又n只能是奇数,那么必满足2^n 除以 3 余2,要使2^n - n 是3的倍数,n必满足除以3后余2
考察 (7+20k) 或 (13+20k) k∈N
7÷3=2……1
13÷3=4……1
27÷3=9……0
33÷3=11……0
47÷3=15……2
则满足2^n - n 是3的倍数,3^n - n 是5的倍数,5^n - n是2的倍数 最小的自然数为 47

N最小是5

假设(2^n-n)=3a，(3^n - n)=5b，5^n - n=2c，则(2^n-n)*(3^n - n)*(5^n - n)=3a*5b*2c=30a*b*c。
（2*5*3）^n-n(6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2)=30*a*b*c.
（2*5*3）^n整除30，只要n是30的整数倍，即可满足等式。接下去证明30是否是最小，请看
6...

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假设(2^n-n)=3a，(3^n - n)=5b，5^n - n=2c，则(2^n-n)*(3^n - n)*(5^n - n)=3a*5b*2c=30a*b*c。
（2*5*3）^n-n(6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2)=30*a*b*c.
（2*5*3）^n整除30，只要n是30的整数倍，即可满足等式。接下去证明30是否是最小，请看
6^n+10^n+15^n-5n-n*2^n-n3^n+n^2是否有存在因子。先休息会！

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是5

首先，不论n为多少，5^n总是一个奇数，而5^n - n必须是2的倍数，所以，n必然是奇数。
其次，2^n - n =(3-1)^n - n ，按二项式展开(3-1)^n后，前n项都是3的倍数，最后一项为 -1，（因为n是奇数，所以，最后一项 -1，而不可能是1）
所以，- 1 - n 必须被3整除，即 n+1是3的倍数，或 n=3k-1，而n又要是奇数，所以，k只能取偶数，即k=...

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首先，不论n为多少，5^n总是一个奇数，而5^n - n必须是2的倍数，所以，n必然是奇数。
其次，2^n - n =(3-1)^n - n ，按二项式展开(3-1)^n后，前n项都是3的倍数，最后一项为 -1，（因为n是奇数，所以，最后一项 -1，而不可能是1）
所以，- 1 - n 必须被3整除，即 n+1是3的倍数，或 n=3k-1，而n又要是奇数，所以，k只能取偶数，即k=2m，则 n=6m-1。或 n=6m+5，m=0，1，2，。。。
最后，把n=6m+5代入 3^n - n 得
3^(6m+5) - 6m - 5 = 3^5*(3^2)^(3m) - m - 5(m+1) = 3^5*(10-1)^(3m) - m - 5(m+1)
必须是5的倍数，即 3^5*(10-1)^(3m) - m 必须是5的倍数。
分两种情况讨论：
m为奇数，则 3m也是奇数，二项式展开(10-1)^(3m)，前3m项都是10的倍数，也是5的倍数，
最后一项为 -1，所以，3^5*(-1) - m 必须是5的倍数，即 3^5+m=243+m=240+3+m，必须是5的倍数，而240显然是5的倍数，所以，m+3要是5的倍数，且m为奇数，m为自然数，则最小的m为 7，对应的最小的n为 6*7+5=47 。
m为偶数，则 3m也是偶数，二项式展开(10-1)^(3m)，前3m项都是10的倍数，也是5的倍数，
最后一项为 1，所以，3^5*1 - m 必须是5的倍数，即 3^5-m=243-m=240+3-m，必须是5的倍数，而240显然是5的倍数，所以，m-3要是5的倍数，且m为偶数，m为自然数，则最小的m为 8，对应的最小的n为 6*8+5=53 。
比较二者，最小的应为 n=47 。
更进一步，
由第一种情况，m+3必为偶数，则m+3要是10的倍数（因为同时是5和2的倍数），所以，m=10p-3，而最后，n=6m+5=60p-13，p=1，2，3，。。。
由第二种情况，m-3必为奇数，则m-3要是5的奇数倍，所以，m=5*(2q-1)+3=10q-2，而最后，n=6m+5=60q-7，q=1，2，3，。。。
所以，问题的全解为n=60p-13，或 60p-7， p=1，2，3，。。。。

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根据5^n - n是2的倍数，可知n为奇数。
根据2^n - n 是3的倍数，可知n=5,11,17.......
3^n除以5的尾数为（3,9,7,1），（3......
3^的尾数：3,7,3,7,3,7,3,7,3
n的尾数： 0,1,2,3,4,0,1,2,3，
所以，n最小等于5+（9-1）*6=53