作业帮直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 14:18:52
直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
直线y=kx+1与椭圆x^2+y^2/4=1交与A、B两点 ,k为何值时OA垂直OB,此时︳AB︳是多少
∵A、B是直线y＝kx＋1与椭圆x^2＋y^2/4＝1的交点,∴A、B都在直线y＝kx＋1上,
∴可令A的坐标为（a,ka＋1）,B的坐标为（b,kb＋1）.
联立y＝kx＋1、x^2＋y^2/4＝1,消去y,得：x^2＋（kx＋1）^2/4＝1,
∴4x^2＋（k^2x^2＋2kx＋1）＝4,∴（4＋k^2）x^2＋2kx－3＝0.
显然,a、b是方程（4＋k^2）x^2＋2kx－3＝0的两根,由韦达定理,有：
a＋b＝－2k/（4＋k^2）、 ab＝－3/（4＋k^2）.
OA的斜率＝（ka＋1）/a, OB的斜率＝（kb＋1）/b.
∵OA⊥OB,∴［（ka＋1）/a］［（kb＋1）/b］＝－1,
∴（ka＋1）（kb＋1）＝－ab, ∴k^2ab＋k（a＋b）＋1＝－ab,
∴k^2［－3/（4＋k^2）］＋k［－2k/（4＋k^2）］＋1＝3/（4＋k^2）,
∴－3k^2－2k^2＋（4＋k^2）＝3, ∴4k^2＝1, ∴k^2＝1/4, ∴k＝±1/2.
此时,a＋b＝－2（±1/2）/（4＋1/4）＝±1/（17/4）＝±4/17.
ab＝－3/（4＋1/4）＝－12/17.
∴｜AB｜^2＝（a－b）^2＋［（ka＋1）－（kb＋1）］^2
＝（a－b）^2＋k^2（a－b）^2＝（1＋k^2）（a－b）^2＝（1＋1/4）［（a＋b）^2－4ab］
＝（5/4）［（±4/17）^2－4×（－12/17）］＝20×（1＋3×17）/17^2＝4×5×16×2/17^2,
∴｜AB｜＝2×4√10/17＝8√10/17.
∴当k＝±1/2时,OA⊥OB,此时｜AB｜为8√10/17.
几年级的题啊?
具体思路：联立成方程组，设两点的坐标，再用x1+x2=-b/a 和 x1乘以x2等于c/a 得出一个关于x的二次的方程式，然后再由OA垂直OB得出：kOA乘以kOB等于负1 即 y1乘以Y2等于负X1乘以X2，再综合关于X的二次方程式和刚求出的式子，可得出K等于正负1/2,接下来求︳AB︳就可以了...
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具体思路：联立成方程组，设两点的坐标，再用x1+x2=-b/a 和 x1乘以x2等于c/a 得出一个关于x的二次的方程式，然后再由OA垂直OB得出：kOA乘以kOB等于负1 即 y1乘以Y2等于负X1乘以X2，再综合关于X的二次方程式和刚求出的式子，可得出K等于正负1/2,接下来求︳AB︳就可以了
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