求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinxcosx+1-a小于等于0恒成立我们老师设sinx为t,整个式子都用t表示,怎么表示?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 08:16:13

求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinxcosx+1-a小于等于0恒成立我们老师设sinx为t,整个式子都用t表示,怎么表示?
求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinxcosx+1-a小于等于0恒成立
我们老师设sinx为t,整个式子都用t表示,怎么表示?

求实数a的取值范围使不等式sinx+cosx+4sinxcosx+1-a小于等于0恒成立我们老师设sinx为t,整个式子都用t表示,怎么表示?
解:该题属于基本的三角函数恒成立问题.一般和代换,化归,单调性,最值相关.
令t=sinx+cosx 那么t的值域为[-√2,√2] 则4sinxcosx=2(t²-1) 原不等式可化为：
t+2(t²-1)+1-a 2t²+t-1=该最大值
令f(t)=2t²+t-1 该函数为[-√2,√2]上的二次函数在t=√2处取得最大值
最大值f(√2)max=3+√2
故a>=3+√2
综上所述:a的取值范围是[3+√2,正无穷大)

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