证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 01:46:27

证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)
证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)

证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3)
证明：∵（x+y+z）3xyz-（yz+zx+xy）3=xyz（x3+y3+z3）-（y3z3+z3x3+x3y3）
∴xyz[（x+y+z）3-（x3+y3+z3）]=（yz+zx+xy）3）-（y3z3+z3x3+x3y3）
∴xyz[（x3+y3+z3+3x2y+3xy2+3xz2 +3y2z +3yz2+6xyz）-（x3+y3+z3）],
=（y3z3+z3x3+x3y3+3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2）-（y3z3+z3x3+x3y3）,
∴xyz（3x2y+3xy2+3xz2 +3y2z +3yz2+6xyz）=3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2
∴（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2=3y2z3x+3z3x2y+3y2zx2+3z2x3y+3zx3y2+6y2z2x2
∴（3x3y2z+3x2y3z+3x2z3y+3y3z2x+3y2z3x+6x2y2z2-3y2z3x-3z3x2y-3y2zx2-3z2x3y--6y2z2x2=0
∴（x+y+z）3xyz-（yz+zx+xy）3=xyz（x3+y3+z3）-（y3z3+z3x3+x3y3）．

全部展开

前面“战马1937”的证明，是由结论证明结论，没说清楚。应该是：
要证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) --- ①
即证明：（x+y+z)^3xyz-xyz(x^3+y^3+z^3)＝(yz+zx+xy)^3-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) －－－②
②左式＝xyz((x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3))=xyz(3xy^2+3xz^2+3x^2y+3Y^2z+3yz^2+3x^2z)
=3xyz(xy^2+xz^2+x^2y+y^2z+yz^2+x^2z)
令xy=a,yz=b,zx=c,并代入上式，得：
②左式＝3（a^2b+bc^2+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2）
②右式＝(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(ab^2+ac^2+a^2b+b^2c+bc^2+a^2c)＝左式
∴②式成立，∴原式成立。

收起

证明：（x+y+z)^3xyz-(yz+zx+xy)^3=xyz(x^3+y^3+z^3)-(y^3z^3+z^3x^3+x^3y^3) 因式分解 (x+y+z)^2+yz(y+z)+xyz 分式题:xy=x+y,yz=2(y+z),zx=3(z+x),求xyz/(xy+yz+xz)xy=x+y,yz=2(y+z),zx=3(z+x),求xyz/(xy+yz+xz) 设xyz是非零实数求|x|/x+|y|/y+|z|/z+|xy|/xy+|xz|/xz+|yz|/yz+|xyz|/xyz 已知:xyz+xy+xz+yz+x+y+z=3 求：u=xyz(x+y+z) 的最大值实数 x , y , z 满足 xyz = 1 , 证明 x² + y² + z² + 3 ≥ 2(xy + yz + zx) 设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x+y+zRt xyz-【2xy-（3xyz-yz）+4xyz】,其中x=2,y=-1/2,z=-1 xyz-【2xy-（3xyz-yz）+4xyz】,其中x=2,y=-1/2,z=-1 实数xyz=1,求证x^2+y^2+z^2+3>=2(xy+xz+yz)已有证法：x²+1≥2x,y²+1≥2y,z²+1≥2z,所以 x²+y²+z²+3≥2(x+y+z)现只需证明x+y+z≥xy+xz+yz=(xy+xz+yz)/xyz=1/x+1/y+1/z即可由均值不等式 (x+y+z)/3 ≥ 三次 XYZ满足XY/X+Y=-2,YZ/Y+Z=3/4,ZX/Z+X=-4/3,求XYZ/XY+YZ+ZX的值 xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1因式分解还是因式分解 xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1 分解因式：xyz-yz-zx-xy+x+y+z-1 非零实数xyz,满足x+y+z=xyz,x平方=yz,求证x平方大于等于3 证明：存在正常数c,使得对所有实数x,y,z,有1+|x+y+z|+|xy+yz+zx|+|xyz|>c(|x|+|y|+|z|) xyz+3(xy+xz+yz)+9(x+y+z)+27=2013速度若x+y+z=6,xy+yz+zx=11,x^3+y^3+z^3-3xyz