题1：已知f(x)是定义在R+上的函数且对任意实数x,y属于R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y),对x>1恒有f(x)

题1：已知f(x)是定义在R+上的函数且对任意实数x,y属于R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y),对x>1恒有f(x)
题1：已知f(x)是定义在R+上的函数且对任意实数x,y属于R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y),对x>1恒有f(x)

题1：已知f(x)是定义在R+上的函数且对任意实数x,y属于R+,恒有f(xy)=f(x)+f(y),对x>1恒有f(x)
1、令x=a,y=b/a,其中b>a>0,则y>1,所以f（y）

1，解:任取实数x1,x2满足1 f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1)
另外，x2>x1=>x2/x1>1=>f(x2/x1)<0
=>f(x2)f(x)是单调递减函数
2，2x<=f(x)<=(x^2+4)/2
=>2*2<=f(2)<=(2^2+4)/2=>...

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1，解:任取实数x1,x2满足1 f(x2)=f(x1*(x2/x1))=f(x1)+f(x2/x1)
另外，x2>x1=>x2/x1>1=>f(x2/x1)<0
=>f(x2)f(x)是单调递减函数
2，2x<=f(x)<=(x^2+4)/2
=>2*2<=f(2)<=(2^2+4)/2=>4<=f(2)<=4=>f(2)=4
设f(x)=ax^2+bx+c
2x<=f(x)<=(x^2+4)/2恒成立且可以取等号
=>(b-2)^2-4ac=0
4b^2-4(2a-1)(c-4)=0
f(-2)=0=>4a-2b+c=0
=>a=1/4, b= c=1
=>f(x)=x^2/4+x+1

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（一）由题设可知，当x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.∴当x＞0时，有0=f(1)=f[x×(1/x)]=f(x)+f(1/x).即f(x)+f(1/x)=0.(x＞0).现在证明单调性。设0＜a＜b.===>b/a＞1.===>0＞f(b/a)=f(b)+f(1/a)=f(b)-f(a).===>f(a)＞f(b).∴在（0，+∞)上，函数f(x)递减。（二）（1...

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（一）由题设可知，当x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.∴当x＞0时，有0=f(1)=f[x×(1/x)]=f(x)+f(1/x).即f(x)+f(1/x)=0.(x＞0).现在证明单调性。设0＜a＜b.===>b/a＞1.===>0＞f(b/a)=f(b)+f(1/a)=f(b)-f(a).===>f(a)＞f(b).∴在（0，+∞)上，函数f(x)递减。（二）（1）由2x≤f(x)≤(x²+4)/2.令x=2.则有4≤f(2)≤4.∴f(2)=4.(2)可设f(x)=ax²+bx+c.(a≠0).由f(-2)=0,f(2)=4.可得4a-2b+c=0.4a+2b+c=4.===>b=1,c=2-4a.∴f(x)=ax²+x+(2-4a).∴由题设，2x≤ax²+x+2-4a≤(x²+4)/2在R上恒成立。===>4x≤2ax²+2x+4-8a≤x²+4.===>恒有ax²-x+2-4a≥0.且恒有(2a-1)x²+2x-8a≤0.===>a＞0且1-4a(2-4a)≤0,===>a=1/4.∴f(x)=(1/4)x²+x+1.

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1.
f(xy)-f(x)=f(y)
用y来替换xy有
f(y)-f(x)=f(y/x)
任取y>x>0
则f(y)-f(x)=f(y/x)
y/x>1
由已知f(y/x)<0
所以f(x)在定义域内递减

1.设0 f(X2)-f(X1)=f（X1X2/X1)-f(X1)=f(X1)+f(X2/X1)-f(X1)
=f（X2/X1)
又因为X2/X1>1,所以f(X2/X1)<0
则f(X2)-f(X1)<0
所以f(x)在定义域内为减函数。
2.因为2X《f...

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1.设0 f(X2)-f(X1)=f（X1X2/X1)-f(X1)=f(X1)+f(X2/X1)-f(X1)
=f（X2/X1)
又因为X2/X1>1,所以f(X2/X1)<0
则f(X2)-f(X1)<0
所以f(x)在定义域内为减函数。
2.因为2X《f(X)《(X^2+4)/2,画图像可知三者图像交于一点。
所以当2X=(X^2+4)/2时，解得X=2,此时2X=4.
所以f(2)=4
设f(X)=aX^2+bX+c,将f(2)=0,f(-2)=4代入得：b=1,4a+c=2
当f(X)=2X时，X只有一个解，则得4ac=1，
解得a=1/4,c=1
所以f(X)=(1/4)X^2+X+1

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