如何证明：分母大于2的最简真分数一定有偶数个?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 01:46:32

如何证明：分母大于2的最简真分数一定有偶数个?
如何证明：分母大于2的最简真分数一定有偶数个?

如何证明：分母大于2的最简真分数一定有偶数个?
设这个分数分母为n（n>=3且为整数）分子为m（m为正整数）
由“真分数”知m=2且为整数）,有j=k*j1,n=k*n1.（j1,n1均为正整数）
n-j=k*(n1-j1)为k的倍数,即k为n-j与n的公因数,得证.
（一）n为奇数,则1~n-1这n-1个正整数可以首尾配对成(n-1)/2组,每组中两数之和为n.
由上述结论知此两数同时与n互素（可做m的取值）或同时与n不互素（不可做m的取值）.
m的取值有偶数个,命题得证.
（二）n为偶数,则1~n-1这n-1个正整数除n/2外可以首尾配对成(n-2)/2组,每组中两数之和为n.
由上述结论知此两数同时与n互素（可做m的取值）或同时与n不互素（不可做m的取值）.
而n/2(>=2)与n的最大公因数为n/2,必不互素.m的取值有偶数个,命题得证.
当考虑负分数时,每个负分数必可以与其相反数对应,命题仍然正确.
综上所述,
分母大于2的最简真分数一定有偶数个

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