作业帮高中数列综合难题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 16:44:59
高中数列综合难题
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高中数列综合难题
（1）
设Tn为an的前n项和。
an为等差数列，则2a2=a1+a3.
即f(x+1)+f(x-1)=0，整理得(x-3)(x-1)=0，即x=1或x=3.
①若x=1，则a1=-2，a2=0，a3=2。
注意到d=a2-a1=2，a1=-2.
从而an=a1+(n-1)d=2n-2，Tn=(n-1)²-1。
显然，当n=1时，T...
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（1）
设Tn为an的前n项和。
an为等差数列，则2a2=a1+a3.
即f(x+1)+f(x-1)=0，整理得(x-3)(x-1)=0，即x=1或x=3.
①若x=1，则a1=-2，a2=0，a3=2。
注意到d=a2-a1=2，a1=-2.
从而an=a1+(n-1)d=2n-2，Tn=(n-1)²-1。
显然，当n=1时，Tn可以取到最小值-1，故x=1时成立。
②若x=3，则a1=2，a2=0，a3=-2.
注意到d=a2-a1=-2，a1=2.
从而an=a1+(n-1)d=-2n+4,Sn=-（n-3/2）²+9/4.
当n=1或n=2时，Tn有最大值2.
当n→+∞时，Tn→-∞，即Tn无最小值，故x=3时不成立。
综上，x=1时，有an=2n-2满足题设。
（2）
bn=（√2）^an=2ⁿ⁻¹，an×bn=n2ⁿ-2ⁿ.
设S=1×2+2×2²+...+n2ⁿ。
则2S=1×2²+2×2³+...+(n-1)2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
故S-2S=2+2²+2³+...+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=(1-n)2ⁿ⁺¹-2
则S=(n-1)2ⁿ⁺¹+2.
从而Sn=S-2ⁿ⁺¹+2=(n-2)2ⁿ⁺¹+4。
综上，Sn=(n-2)2ⁿ⁺¹+4.
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