作业帮怎么用泰勒公式证明e是无理数.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 13:48:09
怎么用泰勒公式证明e是无理数.
怎么用泰勒公式证明e是无理数.
怎么用泰勒公式证明e是无理数.
e=1+1/1+1/2!+.1/n!,n趋向无穷大
假设e是有理数
设e=a/b,a,b为整数
等式两边同乘以b得,当n>=b时,b/n!都是分数
b+b+b/2+.b/n!...=a
所以等式左边是个分数,右边是个整数,故矛盾
e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!+1/(n+1)!+...
n!e=P+1/(n+1)*{1+1/(n+2)+1/[(n+2)(n+3)]+1/[(n+2)(n+3)(n+4)]+...} （*）
其中P是正整数。
当n>2时
1/(n+1)*{1+1/(n+2)+1/[(n+2)(n+3)]+1/[(n+2)(n+3)(n+4)]+...}...
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e=1+1+1/2!+1/3!+...+1/n!+1/(n+1)!+...
n!e=P+1/(n+1)*{1+1/(n+2)+1/[(n+2)(n+3)]+1/[(n+2)(n+3)(n+4)]+...} （*）
其中P是正整数。
当n>2时
1/(n+1)*{1+1/(n+2)+1/[(n+2)(n+3)]+1/[(n+2)(n+3)(n+4)]+...}<1/3(1+1+1/2!+1/3!+...)=e/3<1
若e是有理数，只要n(>2)足够大，（*）左端的n!e一定是整数，而右端却不是。所以e不会是有理数。
收起
复旦陈纪修。