可逆实矩阵和其转置乘积为什么就是正定的?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 17:02:59

可逆实矩阵和其转置乘积为什么就是正定的?
可逆实矩阵和其转置乘积
为什么就是正定的?

可逆实矩阵和其转置乘积为什么就是正定的?
设A是可逆矩阵,A*A^T显然是对称的,对任意非零向量x,作2次型
x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)
因为(A^Tx)^T(A^Tx)是向量A^Tx的长度(2范数)的平方,且A^Tx是非零,否则与A是可逆矩阵矛盾,故x^TAA^Tx=(A^Tx)^T(A^Tx)>0
正定.

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因为任意的实正定二次型都可以通过非退化的线性替换(X=CY)化为标准型且具有唯一性（其证明过程很长，可参看《高等代数》或《线性代数》）
所以任意的正定矩阵A都与单位矩阵E合同:即A=CEC'=CC'其中要求C是非退化的,即C为可逆实矩阵。
下面证对于任意的可逆实矩阵D,DD'为正定矩阵也成立。
设A为正定矩阵，X'AX为正定二次型
则对任意的可逆实矩阵B总存在非退化的线性替换X=BY
即X'AX=(BY)'A(BY)=(Y'B')(CEC')BY=Y'(B'CEC'B)Y=Y'(B'C)E(B'C)'Y
令D=B'C
由上述证明过程知D也为可逆实矩阵，且由B的任意性知D也是任意的。
所以X'AX=Y'DD'Y>0，对任意的X,Y不等于零向量恒成立
可见DD'也为一正定矩阵
命题得证。

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