如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 22:46:54
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=
角AEC
如图,已知AB是圆O的直径,PB为圆O的切线,B为切点,OP垂直弦BC于点D且交圆O于点E 求证角OPB=角AEC
(1)证明:∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,
∴PB⊥AB.
∴∠OPB+∠POB=90°.
∵OP⊥BC,
∴∠ABC+∠POB=90°.
∴∠ABC=∠OPB.
又∠AEC=∠ABC,
∴∠OPB=∠AEC.
(2)连接OC.
∵C为半圆弧ACB的三等分点,
∴∠AOC=60°.
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°.
由(1),得∠POB=90°-∠OPB=60°.
∴∠ECB=30°.
∴∠ABC=∠ECB=30°.
∴AB∥CE.
∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BC.
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴AC∥OE.
∴四边形AOEC是平行四边形.
又 OA=OE,
∴四边形AOEC是菱形.
1)证明:∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,
∴PB⊥AB.
∴∠OPB+∠POB=90°.(1分)
∵OP⊥BC,
∴∠ABC+∠POB=90°.
∴∠ABC=∠OPB.(2分)
又∠AEC=∠ABC,
∴∠OPB=∠AEC.(3分)
(2)四边形AOEC是菱形.
证法一:∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴...
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1)证明:∵AB是⊙O的直径,PB为⊙O的切线,
∴PB⊥AB.
∴∠OPB+∠POB=90°.(1分)
∵OP⊥BC,
∴∠ABC+∠POB=90°.
∴∠ABC=∠OPB.(2分)
又∠AEC=∠ABC,
∴∠OPB=∠AEC.(3分)
(2)四边形AOEC是菱形.
证法一:∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴弧CE =弧BE (4分)
∵C为弧ACB 的三等分点,
∴ 弧AC= 弧CE=弧BE
∴∠ABC=∠ECB.(5分)
∴AB∥CE.(6分)
∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BC.(7分)
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴AC∥OE.(8分)
∴四边形AOEC是平行四边形.(9分)
又 OA=OE,
∴四边形AOEC是菱形.(10分)
证法二:连接OC.
∵C为半圆弧ACB的三等分点,
∴∠AOC=60°.
∴∠ABC=∠AEC=∠OPB=30°.
由(1),得∠POB=90°-∠OPB=60°.
∴∠ECB=30°.
∴∠ABC=∠ECB=30°.
∴AB∥CE.
∵AB是⊙O的直径,
∴AC⊥BC.
又 OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴AC∥OE.
∴四边形AOEC是平行四边形.
又 OA=OE,
∴四边形AOEC是菱形.
证法三:连接OC,则OC=OA=OE.
∵C为半圆弧ACB 的三等分点,
∴∠AOC=60°.
∴△AOC为等边三角形.
∴AC=AO.
∵OP⊥弦BC于点D且交⊙O于点E,
∴ 弧CE=弧BE
∵C为半圆弧ACB的三等分点,
∴弧AC=弧CE =弧BE
∴AC=CE.
∴AC=CE=OA=OE.
∴四边形AOEC是菱形.
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