作业帮求高手推导抛物线焦点弦长公式求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 18:36:33
求高手推导抛物线焦点弦长公式求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）
求高手推导抛物线焦点弦长公式
求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）
求高手推导抛物线焦点弦长公式求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）
（1）当直线的斜率不存在时,即a=90°
xA=xB=p/2
∴ yA=p,yB=-p
∴ |AB|=2p=2p/sin²90°
（2）当直线斜率存在时,k=tana
直线方程是y=k(x-p/2)
代入抛物线方程y²=2px
则k²(x-p/2)²=2px
∴ k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
利用韦达定理,则xA+xB=(k²p+2p)/k²
利用抛物线定义
|AB|=|AF|+|BF|=xA+p/2+xB+p/2=xA+xB+p
即 |AB|=(k²p+2p)/k²+p
=2p+2p/k²
=2p(1+1/k²)
=2p*(1+cos²a/sin²a)
=2p*(sin²a+cos²a)/sin²a
=2p/sin²a
综上,|AB|=2p/sin²a
哈，我恰好会推导！ 抛物线的焦点为F(p/2，0) 设直线l的方程为y=(x-p/2)tana (a≠90°)，代入y²=2px 得y²tana-2py-p²tana=0 设A，B的坐标为（x1,y1）（x2,y2） y1+y2=2p/tana y1+y2=-p² 过A作x轴的垂线交过B与x轴平行的直线于点C AB=AC/sina=(y1-y2)/sina=1/sina √[(y1+y2)²-4y1y2]=1/sina √（4p²/tan²a+4p²）=2p/sin²a 当a=90°时，直线AB⊥Ox轴，这时sina=1，A、B的坐标分别为(p/2,p)(p/2,-p),AB=2p AB=2p/sin²a也成立