作业帮函数f(x)对于任意实数x,满足条件f(x+2)=1/f(x).诺f(1)=-5,求f{f(5)}的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 22:32:10
函数f(x)对于任意实数x,满足条件f(x+2)=1/f(x).诺f(1)=-5,求f{f(5)}的值
函数f(x)对于任意实数x,满足条件f(x+2)=1/f(x).诺f(1)=-5,求f{f(5)}的值
函数f(x)对于任意实数x,满足条件f(x+2)=1/f(x).诺f(1)=-5,求f{f(5)}的值
f(x+4)=f[(x+2)+2]=1/f(x+2)
由f(x+2)=1/f(x)
所以f(x+4)=1/f(x+2)=f(x)
f(5)=f(1+4)=f(1)=-5
f[f(5)]=f(-1)=1/f(-1+2)=1/f(1)=-1/5
由f(1)=-5，得到：
f(3)=f(1+2)=1/f(1)=-1/5
f(5)=f(3+2)=1/f(3)=-5
而，另一方面：
f(1)=f(-1+2)=1/f(-1),f(-1)=-1/5
f(-1)=1/f(-3),f(-3)=-5
f(-5)=1/f(-3)=-1/5
于是，f(f(5))=f(-5)=-1/5
f(1)=-5
f(1+2)=f(3)=1/f(1)=-1/5
f(5)=f(3+2)=1/f(3)=1/(-1/5)=-5
即原式等f{f(5)}=f(-5)
1/f(-5)=f(-5+2)=f(-3)
1/f(-3)=f(-3+2)=f(-1)
1/f(-1)=f(-1+2)=f(1)
依次代入得：f(-5)=1/f(1)
所以f(-5)=-5
由已知，f(x+2)=1/f(x),推出 f(x+4)=f((x+2)+2)
= 1/(f(x+2)
= 1/(1/(f(x)))
= f(x)
所以，函数f(x)是以4为周期的周期函数。
因此，f(5)=f(-3)=f(-7)=f(1)=-5
f(f(5))=f(-5)=1/(f(-7)=-1/5