如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 05:34:28

如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1

如何证明三角形重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1
已知：在△ABC中,AD、BE、CF分别是AB、BC、CA边上的中线
求证：(1)AD、BE、CF相交于一点O
(2)AO:OD=BO:OE=CO:OF=2:1
证明：设AD和BE相交于O'
延长O'D到G,使DG=O'D,连接BG
∵BD=DC,O'D=DG
∴BGCO'是平行四边形,∴BE‖CG
在△AGC中,
∵E是AC的中点,EO'‖CG,
∴EO'平分AG,即AO'=O'G
∴AO':O'D=2:1
同理,CF与AD的交点O"也满足AO":O"D=2:1
故O'与O"重合,设为O,即AD、BE、CF相交于一点O
同理可证BO:OE=CO:OF=2:1
证毕.

证法1
取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。
　　　　　　　　　　　　　　
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评...

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证法1
取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。
　　　　　　　　　　　　　　
∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB
又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB
∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形
∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD
同理可证：CG=2GF，BG=2GE
点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。
　　　　　　　　　　　　　
∵G是BF的中点，D是BC的中点
∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC
由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF
∴AG=FC，即GD=AG
点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）

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