为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 16:13:55
为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?

为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?
为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?

为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数?
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
首先合同是等价关系.可以传递.
每个实对称矩阵都可以通过正交矩阵相似于（由特征值构成的）对角矩阵,因为正交矩阵的特点,那么他也合同与由对特征值构成的对角矩阵.
下证,对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
先证明,对角矩阵一定可以合同与一个对角线上只有正负一以及0的对角矩阵.
设对角矩阵对角线A上第i个元素为a（不为零）,那么设P为用（a的绝对值）^0.5乘E的第i行得到的初等矩阵,那么P^TAP也是个对角矩阵,对角线上除了第i个元素其他和A相同,且第i个元素为正负一,且与a同号.依次这么做,A对角线上所有元素可化为正负一以及0.
再证明,对角线上只有正负一以及0的对角矩阵,只要正负一的个数相同就合同.设对角线上只有正负一以及0的对角矩阵为A,那么用对调ij行的初等矩阵左右乘A,恰使得A的对角线上第i和j个元素对调,其他不变,故命题成立.
结合这两点,易得对角矩阵如果正负数元素个数相同,则一定合同.
那么现在,
两个实对称矩阵合同的充要条件才是有相同的正负惯性指数.
这个结论也是显然的了.

为什么两矩阵合同的的充分必要条件是有相同的正负惯性指数? 矩阵相抵得充分必要条件是它们有相同的轶 线性代数：n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E,怎么证? 若A,B是实对称矩阵,则A与B有相同的特征值是A与B相似的充分必要条件.为什么? 合同矩阵有相同的特征值吗? 两个n阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等.这一推论是怎么证明 两矩阵等价和两向量组等价的区别和联系是什么?为什么都叫等价?是互为充分必要条件吗? n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有? 设A、B均为n阶正规矩阵,证明：A与B相似的充分必要条件是A与B有相同的特征值 矩阵不可逆的充分必要条件 n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件,n阶实对称矩阵A与B合同的充分必要条件是A R（A）=R（B）； B A与B的正惯性指数相等；C A,B为正定矩阵； D A,B同时成立 求证：正交矩阵A是正定矩阵的充分必要条件为A是单位矩阵 试证n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条件是A有一个特征值为零. 对角矩阵的充要条件请问为什么说对角矩阵的充分必要条件是它既是上三角矩阵,又是下三角矩阵? 为什么实对称矩阵相似一定合同实对称矩阵相似，则两个矩阵有相同的特征值，然后呢？ 线性代数：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个（）?10题：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是A有n个（）?A,互不相同的特征值B,互不相同的特征向量C,线性无关的特征向量D 线性代数 合同的问题n元二次型x^TAx正定的充分必要条件.a,存在正交矩阵P,P^TAP=E c,A与单位矩阵合同d,存在n阶可逆矩阵C,使A=C^TC.我想问a,c的区别在什么地方,d是必要条件对么? n阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是ATA=E.