作业帮设抛物线C：y=x^2的焦点为F,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线分别相切于A、B两点.（1）求三角形APB的重心G的轨迹方程（2）证明∠PFA=∠PFB
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:19:53
设抛物线C：y=x^2的焦点为F,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线分别相切于A、B两点.（1）求三角形APB的重心G的轨迹方程（2）证明∠PFA=∠PFB
设抛物线C：y=x^2的焦点为F,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线分别相切于A、B两点.
（1）求三角形APB的重心G的轨迹方程
（2）证明∠PFA=∠PFB
设抛物线C：y=x^2的焦点为F,动点P在直线L:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线分别相切于A、B两点.（1）求三角形APB的重心G的轨迹方程（2）证明∠PFA=∠PFB
y=x^2==>p=1/2
设：A(x1,x1^2),B(x2,x2^2)
根据抛物线的切线公式得：
AP的方程是：2x1x-y-x1^2=0----------------------------(1)
BP的方程是:2x2x-y-x2=0-------------------------------(2)
（1）,（2）方程得：
Xp=(x1+x2)/2,Yp=x1x2
即：P点坐标是：P[(x1+x2)/2,x1x2]
∴三角形APB的重心G；
Xg=(x1+x2+Xp)/3=(x1+x2)/2=Xp
Yg=(x1^2+x2^2+Yp)/3=(x1^2+x2^2+x1x2)/3
==>[(x1+x2)^2-x1x2]/3
==>[4(x1+x2)^2/2-Yp]/3
==>(4Xp^2-Yp)/3
==>Yp=4Xp^2-3Yg
==>Yp=4Xg^2-3Yg
因为Yp在直线l:x-y-2=0上运动,代入得G的方程：
y=1/3(4x^2-x+2)
即：三角形APB的重心G的轨迹方程是：
y=1/3(4x^2-x+2)
(2)
当x1x2≠0时,直线AF的方程：y-1/4=(x1²-1/4)x/x1
即:(x1²-1/4)x-x1y+x1/4=0
直线BF的方程：y-1/4=(x2²-1/4)x/x2
即:(x2²-1/4)x-x2y+x2/4=0
根据点到直线距离公式求出
点P到直线AF距离为：
d1=|(x1²-1/4)(x1+x2)/2-x1x2+x1/4|/√[(x1²-1/4)²+x1²]
化简得出d1=|x1-x2|/2
同理点P到直线BF距离为：d2=|x2-x1|/2
所以d1=d2
所以∠PFA=∠PFB,得证