limx趋向0{xsin(x分之一）-x分之一sinx}的极限

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 11:53:47

limx趋向0{xsin(x分之一）-x分之一sinx}的极限
limx趋向0{xsin(x分之一）-x分之一sinx}的极限

limx趋向0{xsin(x分之一）-x分之一sinx}的极限
原式
=limxsin(1/x)-lim(sinx)/x
=0-1
=-1

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求lim[xsin(1/x)-(sinx)/x](x→0)
用极限的可加性拆成lim (xsin 1/x)和-lim(sinx/x)
xsin 1/x，因为x→0, 所以1/x 趋向无穷，sin(1/x)是在1和-1之间振荡，和x相乘极限是0 ，故lim (xsin 1/x)=0.
从而：lim[xsin(1/x)-(sinx)/x](x→0)
=lim (xsin 1/x)-lim(sinx/x)
=0-lim(sinx/x)
=-lim(sinx/x)
又当x→0，x～sinx
故-lim(sinx/x)=-1
lim[xsin(1/x)-(sinx)/x](x→0)=-1.
PSSS:当x→0，x～sinx这个没疑问吧？！高数书中当已知条件给出的。
如下：
当x→0时，
x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx；
1-cosx～x^2/2；
x～ln(1+x)～e^x-1；
a^x-1～xlna(a＞0,a≠1)；
(1+a)^a-1～ax(a≠0是常数)；
当x→1时，lnx～x-1.

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